Konvergenz Funktionenfolge

21.07.2010, 16:22

Andi24

Konvergenz Funktionenfolge

Hallo , ich bins mal wieder Augenzwinkern

Ich hab jetzt die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n:=\frac{x}{1+nx^2} \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} f_n : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

a) Zuerst soll ich zeigen, dass f_n gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f konvergiert.

Das hab ich damit begründet, dass jedes Folgenglied stetig in R ist und f_n für jedes reelle x gegen f=0 konvergiert, also f wieder stetig ist. Somit muss f_n glm. konvergieren.

b) Ableitung von f bestimmen..... f'(x)=0

c) Zeigen, dass die Folge der Ableitungen (f_n)' punktweise gegen Grenzfunktion g konvergiert.

$\begin{eqnarray*} (f_n)'=\frac{1}{1+nx^2}-\frac{2nx^2}{(1+nx^2)^2} \end{eqnarray*}$

daher gilt

$\begin{eqnarray*} g:= \lim_{n \rightarrow \infty} (f_n)'= \begin{cases} 1 & , x=0 \\ 0 & , x\neq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

g ist nicht stetig , also kann (f_n)' nur punktweise konvergieren.

Vielleicht kann ja jemand drüber schauen, ich hoffe es ist nicht zuviel Text smile

Wie immer Danke smile

21.07.2010, 16:37

Shortstop

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RE: Konvergenz Funktionenfolge

Zitat:

Original von Andi24
a) Zuerst soll ich zeigen, dass f_n gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f konvergiert.

Das hab ich damit begründet, dass jedes Folgenglied stetig in R ist und f_n für jedes reelle x gegen f=0 konvergiert, also f wieder stetig ist. Somit muss f_n glm. konvergieren.

Richtig.

b) Ableitung von f bestimmen..... f'(x)=0 Auch richtig, falls da nach der Ableitung der Grenzfunktion gefragt ist.

c) Zeigen, dass die Folge der Ableitungen (f_n)' punktweise gegen Grenzfunktion g konvergiert.

$\begin{eqnarray*} (f_n)'=\frac{1}{1+nx^2}-\frac{2nx^2}{(1+nx^2)^2} \end{eqnarray*}$

daher gilt

$\begin{eqnarray*} g:= \lim_{n \rightarrow \infty} (f_n)'= \begin{cases} 1 & , x=0 \\ 0 & , x\neq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

g ist nicht stetig , also kann (f_n)' nur punktweise konvergieren.

Auch richtig.

Hättest du so pingelige Tutoren wie ich, würde maximal bemängelt dass nicht offensichtlicherweise

$\begin{eqnarray*} \frac{2nx^2}{(1+nx^2)^2} = \frac{2x^2}{n(1/n+x^2)^2} \end{eqnarray*}$ und damit der lim=0 ist. Augenzwinkern

21.07.2010, 16:45

Gastmathematiker

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RE: Konvergenz Funktionenfolge

Zitat:

Der Rest ist in Ordnung, aber das ist falsch. Es gilt nur die Umkehrung, also wenn du die gleichmäßige Konvergenz nachweist, kannst du sagen, dass die Grenzfunktion stetig ist.

21.07.2010, 16:49

Shortstop

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...stimmt. Es war genau andersrum. Schätze dann musst du sowas zeigen wie

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup_{x\in D_f} \left|f_n(x)-f(x)\right|=0. \end{eqnarray*}$

für fast alle n.

21.07.2010, 17:38

Andi24

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Ja ihr habt Recht, die glm Konvergenz der f_n ist keine notwendige Vorraussetzung für die Stetigkeit der Grenzfunktion.

Aber man könnte ja zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0,\exists N\geq n,s.d \forall n \geq N, \forall x \in \mathbb{R}: |f_n(x)-f(x)|<\epsilon (*) \end{eqnarray*}$

Es gilt
$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)| \end{eqnarray*}$ Das konviergiert aber für alle reellen x gegen 0, also muss es auch Indices $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ geben, dass die Ungleichung (*) erfüllt ist.

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