Untersuchung auf Injektivität und Surjektivität

05.11.2006, 12:24

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Untersuchung auf Injektivität und Surjektivität

Hallo zusammen,
die Boardsuche hat mir zwar einige Treffer geliefert, jedoch verstehe ich nach wie vor nicht, wie man Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität untersucht.
Ich habe hier eine Beispiel-Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \\ x \rightarrow \frac{x-1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Ich kenne zwar die Bedingung für Injektivität: $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2) \end{eqnarray*}$ weiß aber nicht, wie ich das bei der Aufgabe anwenden soll.

Wäre nett, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Gruß
Natalie

05.11.2006, 12:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untersuchung auf Injektivität und Surjektivität
Setze $\begin{eqnarray*} y = \frac{x-1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ und löse das nach x auf.
Wenn das eindeutig möglich ist, das heißt, zu jedem x gibt es kein oder genau ein y, dann hast du die Injektivität.

05.11.2006, 14:45

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
erstmal danke.
Ich hab das jetzt mal nach x aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{1\pm \sqrt{1-4y^2-4y}}{2y} \end{eqnarray*}$

Leider verstehe ich das nicht so ganz:

Zitat:

Wenn das eindeutig möglich ist, das heißt, zu jedem x gibt es kein oder genau ein y, dann hast du die Injektivität.

Woran sehe ich, dass es für x kein oder genau ein y gibt?

05.11.2006, 15:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Indiz ist das plus-minus vor der Wurzel. Setz doch mal y=-1 ein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.11.2006, 15:36

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ein Indiz ist das plus-minus vor der Wurzel. Setz doch mal y=-1 ein.

Dann ist $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} f(x_1)\neq f(x_2) \end{eqnarray*}$
also ist die Funktion injektiv, oder?

05.11.2006, 18:03

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nee. Wir haben zu einem Funktionswert zwei mögliche x-Werte, nämlich 0 und -1.

Anzeige

05.11.2006, 18:44

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, jetzt wo du's sagst.
Dann ist die Funktion surjektiv.

05.11.2006, 18:50

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, sie ist nur nicht injektiv! Das heißt noch lange nicht, dass sie surjektiv ist!

Gruß MSS

05.11.2006, 19:13

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, und surjektiv bedeutet, dass der Funktion für jedes x mindestens ein y zugeordnet ist.
Und wenn hier y=0 ist, dann ist das nicht der Fall, also ist die Funktion nicht surjektiv.
Liege ich damit richtig?

05.11.2006, 19:31

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Ok, und surjektiv bedeutet, dass der Funktion für jedes x mindestens ein y zugeordnet ist.

Nein, surjektiv bedeutet: Zu jedem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gibt es (mind.) ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ wäre das z.B. $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

05.11.2006, 19:44

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich eine Funktion auf Surjektivität untersuchen will, muss ich also nicht nach x auflösen?

Zitat:

Zu jedem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gibt es (mind.) ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$

Das wäre bei dieser Funktion ja der Fall.
Dann ist die Funktion surjektiv.

05.11.2006, 19:47

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lonesome-dreamer
Wenn ich eine Funktion auf Surjektivität untersuchen will, muss ich also nicht nach x auflösen?

Das habe ich doch gar nicht gesagt! Doch, musst du. Bzw. wenn das Auflösen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ möglich ist, dann ist die Funktion surjektiv.
Warum bist du der Meinung, dass diese Funktion surjektiv ist?

Gruß MSS

05.11.2006, 20:13

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Warum bist du der Meinung, dass diese Funktion surjektiv ist?

Ich weiß jetzt überhaupt nichts mehr.
Ich stehe gerade vollkommen auf dem Schlauch.
Wenn ich die Gleichung nach x auflöse und für y=0 einsetze, wird durch 0 geteilt. Das würde dann bedeuten, dass die Bedingung für Surjektivität nicht erfüllt ist.
Dann hast du gesagt, dass für y=0, x=1 ist. Also einfach in die Funtkion eingesetzt. Da würde es ja dann für jedes x mindestens ein y geben, sodass die Bedingung für Surjektivität wieder erfüllt wäre.

Ich blicke gerade überhaupt nicht mehr durch. Könntest du mir das bitte Schritt für Schritt erklären?

05.11.2006, 20:16

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn du nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflöst, musst du natürlich auch darauf achten, ob du durch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ teilen darfst oder nicht. Da musst du eine Fallunterscheidung machen:
1. $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ .

2. $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann musst du weiter nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen.

Jetzt ist die Frage: Gibt es denn wirklich zu jedem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ gilt?

Gruß MSS

05.11.2006, 20:32

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

2. $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann musst du weiter nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen.

Meinst du nicht, nach x auflösen?

Zitat:

Jetzt ist die Frage: Gibt es denn wirklich zu jedem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ gilt?

Unter der Wurzel könnte auch was Negatives stehen. Für y=1 zum Beispiel.

05.11.2006, 20:34

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Genau, unter der Wurzel könnte auch etwas Negatives stehen. Was heißt das denn z.B. für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ ? Gibt es da ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ oder nicht? Ist die Funktion dann surjektiv?

Gruß MSS

05.11.2006, 20:38

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn unter der Wurzel was Negatives steht, gibt es kein x mit f(x)=1. Das lässt sich dann ja gar nicht lösen.
Also ist die Funktion nicht surjektiv.

05.11.2006, 20:46

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut!

Freude

Gruß MSS

05.11.2006, 20:52

lonesome-dreamer

Auf diesen Beitrag antworten »

Man, war das ne schwere Geburt.

Vielen Dank für deine Hilfe.

Gruß
Natalie

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »