Trigonometrische Gleichung lösen.

21.07.2010, 21:12

mrburns

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Trigonometrische Gleichung lösen.

Hallo ich brauche einen Tipp der mich bei dieser Aufgabe wieterbringen kann.
$\begin{eqnarray*} \sin(2x)=\sqrt{3}*\cos(2x) \end{eqnarray*}$

Ich kann die Doppelten Argumente zwar umstellen zu 2sinx*cosx und (cosx)^2-(sinx)^2 , doch das bringt mich irgendwie nicht weiter. also bin ich der Meinung dass es einen anderen Ansatz geben muss. verwirrt

verwirrt

21.07.2010, 21:16

IfindU

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RE: Trigonometrische Gleichung lösen.
Wenn du den arctan zur Verfügung hast, würde ich ihn benutzen, alternativ könntest du es quadrieren und dann den trigonometrischen Pythagoras benutzen.

21.07.2010, 21:22

mrburns

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Darf man doppelte Argumente quadrieren??
Und wenn ich Arctangens oder Tangens benutze so habe ich dann zb tan(2x).
Also auch das doppelte Argument.

21.07.2010, 21:24

IfindU

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Du quadrierst ja nicht die Argumente, sondern die Terme. Doppelte Argumente stören nicht wirklich, wenn es dir hilft substituiere z:= 2x, dann hast du einfache Argumente, rechnest z aus, teilst es durch 2 und hast die Lösung von x.

21.07.2010, 21:43

mrburns

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wäre das richtig:

$\begin{eqnarray*} (\sin(2x))^{2}-3*(\cos(2x))^{2}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-*(\cos(2x))^{2}-3*(\cos(2x))^{2}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4(\cos(2x))^{2}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\cos(2x))^{2}=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos(2x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x=\frac{\pi}{3} +2n\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{6} +n\pi \end{eqnarray*}$

21.07.2010, 21:47

mrburns

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und selbstverständich $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{6} +n\pi \end{eqnarray*}$ , die 2te Lösung smile

smile

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21.07.2010, 21:50

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Zitat:

Original von mrburns
und selbstverständich $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{6} +n\pi \end{eqnarray*}$ , die 2te Lösung smile

smile

Nein, das ist nur eine Scheinlösung, die durch das Quadrieren entstanden ist. unglücklich

unglücklich

Probe nicht vergessen bei nichtäquivalenten Umformungen (wie etwa quadrieren)!

EDIT: Dafür hast du aber andere Lösungen vergessen, die sich im Zweig $\begin{eqnarray*} \cos(2x) = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ verstecken. unglücklich

unglücklich

Kurzum: Gehe lieber über $\begin{eqnarray*} \tan(2x) = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , wie es oben schon empfohlen wurde.

22.07.2010, 01:20

mrburns

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Also wenn ich über den Tangens gehe so komm ich zu diesem Ergebnis.
$\begin{eqnarray*} \tan(2x)=\sqrt{3} \\ 2x=\frac{\pi}{3}+ n\pi \\x=\frac{\pi}{6}+\frac{n}{2}\pi \end{eqnarray*}$
Wäre das die Lösung??

22.07.2010, 13:47

mrburns

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Was ich noch fragen wollte, ist ob man sin x + sin y =sin(x+y) schreiben darf??

22.07.2010, 13:52

Shortstop

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Zitat:

Original von mrburns
Was ich noch fragen wollte, ist ob man sin x + sin y =sin(x+y) schreiben darf??

$\begin{eqnarray*} cos(0) + cos(0) = 1 + 1 = 2 \neq 1 = cos(0+0) \end{eqnarray*}$

22.07.2010, 14:12

mrburns

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gut, merk ich mir Prost

Prost

23.07.2010, 16:28

mrburns

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Noch etwas:
Lässt sich $\begin{eqnarray*} \dfrac{\sin(3x)+\sin(x)}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$ zu sin(2x) umformen?

23.07.2010, 16:30

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Nein - aber zu $\begin{eqnarray*} 2\sin(2x) \end{eqnarray*}$ , falls du das meinst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.07.2010, 16:34

mrburns

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ja genau meinte ich, hehe
Ich hab auch die Formel dafür nur kann ich diese nicht herleiten. Wenn ich sie aber anwenden will, muss ich sie erklärenund herleiten können. Was tun, wie anfangen??

23.07.2010, 16:38

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Gemäß Additionstheorem für $\begin{eqnarray*} \sin(u\pm v) \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \sin(2x\pm x) = \sin(2x)\cos(x) \pm \cos(2x)\sin(x) \end{eqnarray*}$ .

Die beiden Varianten für $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ summiert ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \sin(3x)+\sin(x) = 2\sin(2x)\cos(x) \end{eqnarray*}$ .

23.07.2010, 17:11

mrburns

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Du meinst also, dass sin(3x)+sin(x) = sin(2x+x) + sin(2x-x) ist natürlich genial, darauf wär ich nie gekommen.

Doch wie kann ich zeigen, dass:
$\begin{eqnarray*} \sin x+ sin y = 2\sin(\dfrac{x+y}{2})\cos(\dfrac{x-y}{2}) \end{eqnarray*}$

23.07.2010, 17:21

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Zitat:

Original von mrburns
Du meinst also, dass sin(3x)+sin(x) = sin(2x+x) + sin(2x-x) ist natürlich genial

Nö, ich meine nicht, dass das genial ist - es ist Standardwissen.

P.S.: Immer schön zu lesen, wenn mitten im Satz die Gedanken eine andere Richtung nehmen... Big Laugh

Big Laugh

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