Verständnisproblem Differential, Kettenregel

21.07.2010, 21:34

Merlinius

Verständnisproblem Differential, Kettenregel

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktionen. zeige:

$\begin{eqnarray*} \frac{d(g \circ f)}{dt}(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}(f(t)) \frac{df_i}{dt}(t) \end{eqnarray*}$

Also ich schaue mir gerade diese Aufgabe an, aber bekomme es irgendwie nicht ganz hin. Zur Notation:

Wir haben $\begin{eqnarray*} df \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} df: U \rightarrow V^* \end{eqnarray*}$ , die jedem Punkt sein (lineares und stetiges) "Differential" bzw. "Ableitung" in den $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ zuordnet, also z.B. $\begin{eqnarray*} df(u_0): U \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ bei einer reellwertigen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Erstmal bin ich mir unsicher, was dieses $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ im Nenner soll in der Aufgabe. Ich bin dieser Schreibweise in unserer Vorlesung noch nicht begegnet, deshalb bin ich unsicher, was es mir genau sagen soll?

Das wäre meine erste Frage. Ich weiß, dass es sehr grundlegend ist, aber irgendwie verwirren mich diese verschiedenen Schreibweisen und ich weiß nicht, wie ich es mit obiger Definition in Einklang bringen soll. Bisher haben wir nur eingeführt: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_i}(u) := df(u)(e_i) \end{eqnarray*}$ , also Richtungsableitung im Punkt $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ .

Zurück zur Aufgabe:

Also $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist ja eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Also kann man ja sagen:

$\begin{eqnarray*} d(g\circ f)(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial (g \circ f)}{\partial x_i}(t)dx_i \end{eqnarray*}$

Jetzt gehe ich mal davon aus, dass man die Kettenregel anwenden muss. Und da hapert es jetzt bei mir:

$\begin{eqnarray*} ... = \sum_{i=1}^n \frac{\partial (g(f(t))}{\partial x_i} \cdot * \cdot dx_i \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} * = \frac{df}{dt}(t) \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja, wie komme ich dann auf die $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ aus der Aufgabenstellung? Wenn nein, wie wende ich die Kettenregel hier richtig an? (Und was das $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ im Nenner formal explizit bedeutet, würde mich wie gesagt interessieren.)

Danke schonmal

22.07.2010, 09:49

Ehos

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Du sollst die Kettenregel beweisen.

Bekanntlich stellt das Symbol $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ eine verkettete Funktionen dar. Dabei bezeichnet f die "äußere Funktion" und g die "innere Funktion". Ich finde die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ etwas verwirrend, aber Mathematiker lieben Symbole, auch wenn sie wie in diesem Falle überflüssig sind.

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Beispiel:
Hat man die äußeren Funktionen $\begin{eqnarray*} f(g)=sin(g) \end{eqnarray*}$ und die innere Funktion $\begin{eqnarray*} g=x^2 \end{eqnarray*}$ , so lautet die verkette Funktion

$\begin{eqnarray*} sin(g) \circ \underbrace{x^2}_{g(x)}=sin(x^2) \end{eqnarray*}$ .
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Die sog. "Kettenregel ", welche du beweisen sollst, besagt, dass die Ableitung einer verketteten Funktion f(g(x)) das Produkt aus "innerer Ableitung" und "äußerer Ableitung", also

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}f(g(x))=\underbrace{ \frac{df}{dg}}_{\begin{matrix} innere \\ Ableitung \end{matrix}} \cdot \underbrace{\frac{dg}{dx}}_{\begin{matrix} \ddot a ussere\\ Ableitung \end{matrix} } \end{eqnarray*}$

Beweis:

Man entwickelt die innere Funktion in einer Tayloerreihe bis zur 1.Ordnung, also

$\begin{eqnarray*} g(x_0+x)\approx g(x_0)+\frac{dg}{dx}\cdot x +... \end{eqnarray*}$

Dies setzt man in die äußere Funktion ein

$\begin{eqnarray*} f(g(x_0+x)) \approx f\left ( g(x_0)+\underbrace{\frac{dg}{dx}\cdot x}_{\Delta g}+...\right ) \end{eqnarray*}$

Nun entwickeln wir die äußere Funktion ebenfalls in einer Taylorreihe mit der Variablen g

$\begin{eqnarray*} f(g(x_0+x)) \approx f(g(x_0))+\frac{df}{dg} \cdot \underbrace{\frac{dg}{dx}\cdot x}_{\Delta g} \end{eqnarray*}$

Nun differenzieren wir dies formal nach x. Dabei fällt auf der rechten Seite der 1.Summand weg, weil er konstant ist. Beim zweiten Summanden auf der rechten Seite fällt der Faktor x durch's Ableiten weg. Übrig bleibt die gesuchte Ableitung an der Stelle xo

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}f(g(x_0))=\frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} \end{eqnarray*}$

Das ist die Kettenregel, w.z.b.w.
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Der Beweis funktioniert prinzipiell genauso, wenn man wie in deinem falle Funktionen mit mehreren Variablen hat.

22.07.2010, 21:02

system-agent

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@Ehos
Das ist leider alles ziemlich schwammig und kein Beweis. Die Symbole sind übrigens notwendig ! Übrigens sind Komplettlösungen nicht erwünscht.

Dein $\begin{eqnarray*} df \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung, die jedem Punkt deines Definitionsbereiches sein Differential zuweist, das ist die lineare Abbildung die deine Funktion annähern soll, anders gesagt eine 1-Differentialform.

OK, wie du das beweisen kannst. Da bleibt die Frage was du verwenden darfst.
Ist das eine Ausformulierung der allgemeinen Kettenregel $\begin{eqnarray*} d(g\circ f)=(dg)\circ(df) \end{eqnarray*}$ oder hast du diese noch nicht zur Verfügung?

Falls nicht solltest du über die Definitionen gehen.
Zb $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist differenzierbar in $\begin{eqnarray*} t_0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , also hat es eine Darstellung
$\begin{eqnarray*} f(t_0+h)=f(t_0)+h\frac{\dd f}{\dd t}(t_0)+\text{Rest} \end{eqnarray*}$ .

Hier ist $\begin{eqnarray*} df \end{eqnarray*}$ das (äussere) Differential, Cartan-Ableitung und hat wirklich eine Bedeutung. Dagegen ist $\begin{eqnarray*} \frac{\dd f}{\dd t}(t_0) \end{eqnarray*}$ nur eine Schreibweise für die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ wurde es definiert als die Richtungsableitung. Für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist diese Definition auch OK, es ist dasselbe, aber anstatt $\begin{eqnarray*} \partial \end{eqnarray*}$ schreibt man lieber $\begin{eqnarray*} \dd \end{eqnarray*}$ .

23.07.2010, 02:34

Merlinius

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vielen dank. ja, die kettenregel hatten wir schon. ich habe mittlerweile auch schon beweise zu der aufgabe gesehen, aber leider sind die alle sehr kurz und gehen nicht wirklich auf die sachen ein, die ich an der aufgabe nicht verstanden hatte.

aber jetzt habe ich es verstanden, danke.

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