Übungen zu Relation - Seite 2

16.08.2010, 22:35

Iorek

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Du weißt ja aber gar nicht, welche Elemente in der Relation enthalten sind, also kannst du so nicht argumentieren.

Eine Relation heißt transitiv, wenn aus $\begin{eqnarray*} (a,b),(b,c)\in R \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (a,c)\in R \end{eqnarray*}$ ist, wir interessieren uns jetzt also nur für Paare reeller Zahlen $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ , die die Gleichung $\begin{eqnarray*} x\cdot y=x+y \end{eqnarray*}$ erfüllen. Seien $\begin{eqnarray*} (x,y),(y,z)\in R \end{eqnarray*}$ , was gilt dann für diese Paare, was kannst du ausgehend davon über das Paar $\begin{eqnarray*} (x,z) \end{eqnarray*}$ sagen?

16.08.2010, 22:41

VinSander82

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ok , also wenn das so ist wie grad beschrieben, dann kann ich sagen , dass es transitiv ist

16.08.2010, 22:42

Iorek

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Wenn was ist wie grad beschrieben? Wir haben doch noch gar nicht die Transitivität überprüft... verwirrt

verwirrt

16.08.2010, 22:53

VinSander82

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Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} (x,y),(y,z)\in R \end{eqnarray*}$ , was gilt dann für diese Paare, was kannst du ausgehend davon über das Paar $\begin{eqnarray*} (x,z) \end{eqnarray*}$ sagen?

damit meine ich, dass transitivität daraus folgt

16.08.2010, 22:54

Iorek

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Wieso sollte daraus die Transitivität folgen? Das sind doch nur die Voraussetzungen die wir haben um auf Transitivität zu prüfen.

16.08.2010, 23:01

VinSander82

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man man man unglücklich

unglücklich

das kann doch nicht soo schwer sein, ich fass mir echt auf den Kopf..

wie soll ich die Vorrasusetzung an die aufgabe einsetzen???

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16.08.2010, 23:06

Iorek

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Was heißt es, wenn $\begin{eqnarray*} (x,y),(y,z)\in R \end{eqnarray*}$ sind, was erfüllen diese Paare dann?

16.08.2010, 23:10

VinSander82

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sie erfüllen dann die Transitivität, weil daraus ja folgt $\begin{eqnarray*} \left(x,z\right) \end{eqnarray*}$

16.08.2010, 23:18

Iorek

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Nein!

Das sind einfach nur zwei Paare aus der Relation, wir wissen noch überhaupt nichts über die Transitivität!

Wir wissen: $\begin{eqnarray*} (x,y)\in R\Rightarrow x\cdot y=x+y \end{eqnarray*}$ , was wissen wir also über das zweite Paar?

16.08.2010, 23:18

VinSander82

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Zitat:

Original von VinSander82
sie erfüllen dann die Transitivität, weil daraus ja folgt $\begin{eqnarray*} \left(x,z\right) \end{eqnarray*}$

ich glaub ich lass es für heute erstma gut sein. vielen dank für deine mühe um mir holzkopf was beizubringen böse

böse

ich mach morgen weiter

16.08.2010, 23:20

VinSander82

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hmm dass y * z = y +z ist

16.08.2010, 23:22

Iorek

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Nein

unglücklich

Guck dir doch mal die Definition der Relation an, das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat mit dem Paar $\begin{eqnarray*} (y,z) \end{eqnarray*}$ doch überhaupt nichts zu tun. $\begin{eqnarray*} (y,z)\in R\Rightarrow y\cdot z =y+z \end{eqnarray*}$ , einfach streng nach Definition der Relation einsetzen...

Edit: Nach deiner Verbesserung stimmt es jetzt. Was müsste gelten, wenn auch $\begin{eqnarray*} (x,z)\in R \end{eqnarray*}$ gelten soll?

16.08.2010, 23:37

VinSander82

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dann müsste x *z = x + z gelten.

mach ich mir das wirklich viel zu schwer? denke wahrscheinlich viel zu kompliziert

16.08.2010, 23:58

Iorek

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Du müsstest dir das einfach nur sauber aufschreiben und dann kurz darüber nachdenken, wirklich kompliziert ist das nicht.

Schreib dir die Bedingungen mal sauber auf und sieh es dir in Ruhe an. Überleg dir mal, wie das z aussehen muss, wenn du x und y schon vorgeben hast.

22.08.2010, 13:23

VinSander82

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hallo, also beim besten willen ich komme nicht dahinter. ich hab jetzt mit abbildungen weiter gemacht , weil mich diese aufgabe echt demotiviert.. will natürlich wie das funktioniert, aber nimmt echt viel zeit in anspruch... gibt es ein buch was du mir empfehlen könntest?

vg vinsander

22.08.2010, 13:35

Iorek

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Ein Buch wüsste ich nicht, ich helf dir mit der Transitivität dann mal etwas auf die Sprünge:

Wir haben festgestellt, dass die Relation nicht reflexiv aber symmetrisch ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall (x,y)\in R \Rightarrow (y,x)\in R \end{eqnarray*}$ . Angenommen die Relation wäre transitiv, dann folgt damit $\begin{eqnarray*} \forall (x,y)\in R\stackrel {\text{sym.}}\Rightarrow (y,x)\in R \stackrel {\text{trans.}}\Rightarrow (x,x)\in R \end{eqnarray*}$ . Da wir wissen, dass die Relation nicht reflexiv ist, lässt sich da doch bestimmt ein schönes Gegenbeispiel zu finden (es ist also bisher nicht gezeigt, dass die Relation transitiv/nicht transitiv ist, du kannst mit dieser Folgerungskette aber bestimmt ein leichtes Gegenbeispiel konstruieren).

22.08.2010, 15:12

VinSander82

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ist die Relation demzufolge antisymmetrisch und das andere beispiel lässt sich wie folgt aufschreiben: $\begin{eqnarray*} \left(x,z\right) \in R \Rightarrow x\cdot z= x+ z \end{eqnarray*}$

22.08.2010, 16:12

Iorek

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Warum bringst du denn jetzt schon die Antisymmetrie ins Spiel? Wir waren doch mit der Transitivität noch gar nicht fertig unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Iorek
es ist also bisher nicht gezeigt, dass die Relation transitiv/nicht transitiv ist, du kannst mit dieser Folgerungskette aber bestimmt ein leichtes Gegenbeispiel konstruieren

Versuch doch zuerst ein Gegenbeispiel zur Transitivität zu konstruieren.

Und danach solltest du dir erst Gedanken zur Antisymmetrie machen...

22.08.2010, 16:39

VinSander82

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hmm, ist das nicht so , dass es , weil es nicht reflexiv ist, daher auch nicht zu (x,x) kommen kann diesbezüglich auch noicht transitiv ist?

ohh je hoffe du flippst nicht aus, wenn es falsch ist Gott

Gott

22.08.2010, 16:44

Iorek

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Du musst jetzt die Vorraussetzungen für reflexiv und transitiv unterscheiden: reflexiv muss für alle x aus der Menge, auf der die Relation definiert ist, gelten, für die Transitivität interessierst du dich aber nur für die Elemente, die auch in der Relation enthalten sind (so ist z.B. $\begin{eqnarray*} (0,0)\in R \end{eqnarray*}$ , auch wenn die Relation nicht reflexiv ist).

Trotzdem: warum willst du noch immer nicht einfach ein bischen ausprobieren und ein Gegenbeispiel (mit echten Zahlen) konstruieren? Wenn du ein Paar $\begin{eqnarray*} (x,y)\in R \end{eqnarray*}$ findest, sodass $\begin{eqnarray*} (x,x)\notin R \end{eqnarray*}$ gilt, dann bist du doch schon fertig (mit der Begründung wie oben angegeben).

22.08.2010, 17:22

VinSander82

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ich weiss es nicht, ich kann dir jetzt nur das geben, was ich aus dem was ich jetzt verstanden habe wieder geben. wie ich ein gegenbeispiel dir zeigen soll, ist mir nicht mal klar: ich würde nur raten und das hat mich nicht weiter gebracht. ich hab's ehrlich versucht und ich komme nicht drauf, das ist echt traurig. ABER

$\begin{eqnarray*} \left(x,y \right) \in R \wedge \left(y,z\right) \in R \leftrightarrow \left(x+y=x\cdot y \wedge y+z=y\cdot z\right) \rightarrow\left(x+z=x\cdot z\right)\leftrightarrow \left(x,z\right)\in R \end{eqnarray*}$

22.08.2010, 21:55

Iorek

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Nicht raten, bewusst suchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ (diese Zahl ist beliebig gewählt, du kannst auch $\begin{eqnarray*} x=100 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=e^{\sqrt[6]{5}}+\frac 13 \end{eqnarray*}$ nehmen, allerdings mag ich mit diesen Zahlen nicht rechnen, deshalb eine kleine Zahl), wie muss $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gewählt werden, damit $\begin{eqnarray*} (x,y)\in R \end{eqnarray*}$ ist? Das ist eine einfache Gleichung die es zu lösen gilt.

Wenn du das hast, haben wir ein $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (3,y)\in R \end{eqnarray*}$ , die Symmetrie liefert uns dann $\begin{eqnarray*} (y,3)\in R \end{eqnarray*}$ . Jetzt nehmen wir an, die Relation wäre transitiv, dann folgt aus $\begin{eqnarray*} (3,y)\in R \wedge (y,3)\in R \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} (3,3)\in R \end{eqnarray*}$ .

Rechne das mal alles nach, dann kannst du die Frage bzgl. der Transitivität beantworten.

22.08.2010, 23:35

VinSander82

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hi , hej danke das du sooooo viel Geduld mit mir hast.
also wenn ich für y= $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ einsetzte, dann wäre mit x= 3 die Gleichung x + y = x * y richtig. und genauso wäre dann für y+ z = y *z mit z= 3 die gleichung damit korrekt. also somit x=z

also hieße es hierfür, dass sie mit diesem besipiel transitiv ist......oder?

23.08.2010, 10:14

Iorek

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Bist du ganz sicher, dass sie transitiv ist? unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von VinSander82
also wenn ich für y= $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ einsetzte, dann wäre mit x= 3 die Gleichung x + y = x * y richtig.

Das stimmt, wir haben also $\begin{eqnarray*} (3,\frac 32)\in R \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von VinSander82
und genauso wäre dann für y+ z = y *z mit z= 3 die gleichung damit korrekt. also somit x=z

Ja, das bekommen wir aber schon über die Symmetrie dazu geschenkt, $\begin{eqnarray*} (\frac 32,3)\in R \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von VinSander82
also hieße es hierfür, dass sie mit diesem besipiel transitiv ist......oder?

WENN die Relation transitiv WÄRE, dann MUSS auch $\begin{eqnarray*} (3,3)\in R \end{eqnarray*}$ sein...aber jetzt rechne das doch einfach nach.

Du machst es dir viel zu schwer, ich habe dir den Anfang von einem Gegenbeispiel gegeben, dass ausschließlich aus durchrechnen besteht.

10.10.2011, 13:58

Matzemathiker

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hallo, ich weiss nicht habe aber jetzt einfach hier mal weiter gemacht, weil ich auch grad bei relationen bin und den ganzen beitrag..gott behüte, nicht wirklich auf anheib verstanden.

ich kann es nicht beweisen, aber denke die Relation ist nicht transitiv. vielleicht kann mir aber einer von euch dabei helfen?

vg

10.10.2011, 22:31

Iorek

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Auf einen Beitrag mit mehr als 64 Antworten der über 1 Jahr alt ist bekommt man nur selten eine Antwort. Ich würde dir empfehlen (vor allem da ich aktuell aus Internetgründen eingeschränkt bin) die entsprechende Aufgabe in einem neuen Thread zu besprechen. Achte dabei am besten darauf, dass du die Aufgabe im Thread selber direkt angibst, einen alten Thread zu durchwühlen ist nicht so schön für Helfer.

10.10.2011, 22:57

Matzemathiker

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ok mache ich , danke für den hinweis.

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