Wurzel aus Matrix ziehen

21.07.2010, 22:55

kurcinaa

Wurzel aus Matrix ziehen

Meine Frage:
Soo ich habe ein problem mit dem Wurzel ziehen aus einer Matrix..

die Matrix sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2i \\ -2i & 5\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
so erst berechnet man das char.Polynom..eigenvektore usw. um die matrix zu diagonalisieren..

Die Eigenwerte: a1 = 6, a2 = 1

dann sieht die S matrix so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2i \\ -2i & 1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

S-1 ist :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 2i \\ 2i & 1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und jetzt macht man doch dass S*D*S? , wobei D die Diagonalmatrix ist mit den Wurzeln aus den Eigenvektoren, mit S? mein ich die adjungierte

jetzt die Wurzel ist??? oder wie?? ich hab noch irgendwo gelesen ich muesste was orthonormalisieren??? stimmt das oder was solll ich jetzt machen

21.07.2010, 23:11

tigerbine

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RE: Wurzel aus Matrix ziehen
Du hast eine Matrix A und suchst eine Matrix B mit B²=A. Daher die Idee, da A hermitisch ist:

$\begin{eqnarray*} A=QD_AQ^{-1} =QD_BQ^{-1}QD_BQ^{-1} \end{eqnarray*}$

und es ist

$\begin{eqnarray*} B=QD_BQ^{-1} \end{eqnarray*}$

Q ist eine unitäre Matrix.

21.07.2010, 23:16

mathinitus

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Naja, du hast ja dann:

$\begin{eqnarray*} A=S^{-1}BS \end{eqnarray*}$

Wobei B diagonal ist. Ziehst du auf den Diagonaleinträgen die Wurzel und nennst die Matrix C dann hast du:

$\begin{eqnarray*} S^{-1}CS \cdot S^{-1}CS=S^{-1}CCS=S^{-1}BS=A \end{eqnarray*}$

Hier spielt es also keine Rolle, dass die Eigenräume senkrecht aufeinander stehen. Wichtig ist nur, dass A diagonalisierbar ist.

Edit: Mist, zu spät!

22.07.2010, 00:30

kurcina

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also das hast ja dass ich die matrix dann wieder mit S und dem inversen von S multipliziere.. da ja die matrix unitaer ist sind die gleich..

also ist bis jetzt ja alleg richtig?? nur dass ich nicht die S komplex konjugieren und dann transponieren sollte, sondern nur S und inverse von S mit meine diagonalisierten A (wurzeln aus den EW) multiplizieren?

22.07.2010, 00:35

tigerbine

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Zitat:

also das hast ja dass ich die matrix dann wieder mit S und dem inversen von S multipliziere.. da ja die matrix unitaer ist sind die gleich..

Was soll uns das nun sagen? verwirrt

A ist hermitisch, also bestimme die entsprechende unitäre Matrix Q. Das mit den EW und EV ist ja richtig, aber doch bitte normiert. Augenzwinkern

22.07.2010, 00:42

kurcina

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jetzt bin ich voll verwirt!!

was ist jetzt nun richtig?!

aber wenn ich die normiere.. um jetzt nicht den ganzen vorgang aufzuschreiben.. steht dann nur anstat vor S das 1/5 vor der inversen von S..und was hab ich damit

22.07.2010, 00:53

tigerbine

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Wenn du S normierst, dann ist auch die Inverse normiert. Wie hast du S bestimmt? Mit den Eigenvektoren? Dann die die Formel aber nur, wenn du normierte EV wählst.

22.07.2010, 09:03

mathinitus

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Außerdem ist S nicht gleich seiner Inversen, selbst wenn S unitär ist. Vorher muss noch transponiert werden. Also haben wir: $\begin{eqnarray*} S^{-1}=S^\top \end{eqnarray*}$

22.07.2010, 09:06

mathinitus

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Außerdem ist das doch eher lineare Algebra anstatt Analysis.

22.07.2010, 09:20

jester.

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Zitat:

Original von mathinitus
Außerdem ist S nicht gleich seiner Inversen, selbst wenn S unitär ist. Vorher muss noch transponiert werden. Also haben wir: $\begin{eqnarray*} S^{-1}=S^\top \end{eqnarray*}$

Nein, für eine unitäre Matrix gilt i.A. $\begin{eqnarray*} S^{-1}\neq S^{tr} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} S^{-1}=S^*:=\overline S ^{tr} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \overline S \end{eqnarray*}$ die Matrix bezeichnet, wo alle Einträge komplex konjugiert werden.

22.07.2010, 09:22

kurcina

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ich hab ja auch nicht gesagt dass die inverse gleich S ist..

meine frag war ja nur ob ich jetzt S aus normieren sollte und ob ich am Ende
jetzt die Diagonalmatrix mit der normierten S und der ADJUNGIERTEN von S multiplizieren solll..da das so im Skript steht.. oder mit der Inversen von S

also normieren?? und dann normierte von S??
also:

SDS* (mit S* adjungierte) oder SD(S-1)
wobei D diagonalmatrix mit wurzeln aus den EWen..

22.07.2010, 09:25

jester.

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Wenn du die Wurzel aus der Diagonalmatrix gezogen hast, kannst du einfach die Transformation, mit der du die ursprüngliche Matrix auf Diagonalgestalt gebracht hast, umgekehrt ausführen und bist fertig.

Außerdem gilt: Wenn $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ unitär ist, dann ist $\begin{eqnarray*} S^{-1}=S^* \end{eqnarray*}$ . Es ist also das selbe, mit der Inversen oder der Adjungierten zu multiplizieren.

22.07.2010, 09:33

mathinitus

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Zitat:

Original von jester.

Zitat:

Stimmt. Nur im Fall, dass meine Matrix rein reell ist, überschneidet sich das.

22.07.2010, 09:38

kurcina

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okk das war die Antwort auf die ich gewartet habe!! danke!!
ich probier das noch mit den normieren und so aber ein Tutor meinte das waere nicht notwendig

22.07.2010, 09:48

mathinitus

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Zitat:

Original von kurcina
okk das war die Antwort auf die ich gewartet habe!! danke!!
ich probier das noch mit den normieren und so aber ein Tutor meinte das waere nicht notwendig

Habe ich ja auch gesagt.

22.07.2010, 11:30

tigerbine

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Zitat:

Original von jester.
Wenn du die Wurzel aus der Diagonalmatrix gezogen hast, kannst du einfach die Transformation, mit der du die ursprüngliche Matrix auf Diagonalgestalt gebracht hast, umgekehrt ausführen und bist fertig.

Außerdem gilt: Wenn $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ unitär ist, dann ist $\begin{eqnarray*} S^{-1}=S^* \end{eqnarray*}$ . Es ist also das selbe, mit der Inversen oder der Adjungierten zu multiplizieren.

Dieses "wenn unitä"r erreichst du eben über die Normierung. Mit meinen Formulierungen sollte dir klar sein, dass ich hier vom Spektralsatz gesprochen habe. Mir also die spezielle Gestalt deiner Matrix zu nutze machen wollte.

Das allgemeine Vorgehen bei der Berechnung der Diagonalmatrix einer Diagonalisierbaren Matrix ist:

* Bestimme die EW
* Bestimme Basen der Eigenräume -> Eigenvektoren
* Trage diese in die Spalten einer Matrix S ein

$\begin{eqnarray*} D = SAS^{-1} \end{eqnarray*}$

Matrizen zu invertieren ist i.A. sehr schwer. Daher versucht man Spezialfälle auszunutzen. Deine Matrix war nur 2x2, so dass die mit geg. Inversenformel die Normierung ws aufwändiger erschien.

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