Olympiadeaufgabe 2007 (Zahlentheorie)

22.07.2010, 18:00

Minus

Olympiadeaufgabe 2007 (Zahlentheorie)

$\begin{eqnarray*} 461035 \end{eqnarray*}$

Auf einem Zettel sind zwei verschiedene Reelle Zahlen notiert.
Zeigen sie, dass es reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gibt, so dass eine der beiden notierten gleich $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ und eine andere $\begin{eqnarray*} xy+1 \end{eqnarray*}$ ist.

Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter.
Die beiden Zahlen nannte ich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} a=x+y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=xy+1 \end{eqnarray*}$

b ist größer als a, wenn $\begin{eqnarray*} xy+1-x-y>0=(x-1)(y-1)>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => x>1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y>1 \end{eqnarray*}$

a ist größer als b, wenn $\begin{eqnarray*} x-y-xy-1>0=(x-1)(-y+1)>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => x>1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y<1 \end{eqnarray*}$

Als $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ kann man jede Zahl darstellen, dass kann ich nachvollziehen. Selbst bei einer irrationalen Zahl wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}. \end{eqnarray*}$

Aber dass man z.B. gleichzeitig $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} xy+1 \end{eqnarray*}$ darstellen kann ist für mich unvorstellbar.

22.07.2010, 18:22

lgrizu

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RE: Olympiadeaufgabe (Zahlentheorie)

Zitat:

Original von Minus

Aber dass man z.B. gleichzeitig $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} xy+1 \end{eqnarray*}$ darstellen kann ist für mich unvorstellbar.

ist aber so:

seien die beiden notierten zahlen tatsächlich $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt3 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x+y=\sqrt2 \Rightarrow x=\sqrt2-y \end{eqnarray*}$

nun setzen wir das in die zweite gleichung ein und erhalten $\begin{eqnarray*} y=\frac{\sqrt2}{2} \pm \sqrt{\frac{3}{2}-\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

edit: sorry, laufender wettbewerb, rest der antwort wegeditiert.....

22.07.2010, 18:26

tigerbine

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RE: Olympiadeaufgabe (Zahlentheorie)

Zitat:

Original von lgrizu
[quote]Original von Minus
edit: sorry, laufender wettbewerb, rest der antwort wegeditiert.....

Wenn der Wettbewerb laufend ist, sollst du gar nicht antworten, sondern das melden. Imho ist die Aufgabe von 2007.
http://www.mathematik-olympiaden.de/aufg...6/3/A46103b.pdf

22.07.2010, 18:29

Minus

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Danke, das umformen nach x, habe ich völlig übersehen unglücklich

ps. Es ist kein laufender Wettbewerb
461035 bedeutet 46 Matheolympiade, 10 Klasse 3 Runde 5 Aufgabe. Dieses Jahr war schon die 49 Matholympiade vorbei.

22.07.2010, 18:31

tigerbine

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Zitat:

Original von Minus
461035 bedeutet 46 Matheolympiade, 10 Klasse 3 Runde 5 Aufgabe. Dieses Jahr war schon die 49 Matholympiade vorbei.

Schreib doch bei den Aufgaben einfach das Jahr dazu. Dann gibt es keine Probleme. Augenzwinkern

22.07.2010, 18:31

Minus

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Werde ich nächstes mal tun Augenzwinkern

22.07.2010, 18:40

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Zitat:

Original von Minus
Aber dass man z.B. gleichzeitig $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} xy+1 \end{eqnarray*}$ darstellen kann ist für mich unvorstellbar.

Das verlangt die Aufgabe ja auch nicht notwendig. Es genügt auch alternativ, reelle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} x+y &=& \sqrt{3} \\ xy+1 &=& \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

anzugeben. Augenzwinkern

22.07.2010, 19:09

lgrizu

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RE: Olympiadeaufgabe (Zahlentheorie)

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Original von lgrizu
[quote]Original von Minus
edit: sorry, laufender wettbewerb, rest der antwort wegeditiert.....

Wenn der Wettbewerb laufend ist, sollst du gar nicht antworten, sondern das melden. Imho ist die Aufgabe von 2007.
http://www.mathematik-olympiaden.de/aufg...6/3/A46103b.pdf

ich dachte, die matheolympiade läuft noch (hab mit ner nachhilfeschülerin vor zwei wochen noch dafür gelernt) und dachte ebenso, die aufgabe wäre eine der laufenden....

werd ich nächstes mal melden (wenn ich mich nicht wieder vertue), oder erst besser gar nicht darauf antworten.....

22.07.2010, 19:16

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Tja so gesehen läuft die Matheolympiade seit fast 50 Jahren. Aber eine Wettbewerbsverzerrung ist es gewiss nicht, wenn man eine drei Jahre alte Aufgabe hier bespricht. Augenzwinkern

22.07.2010, 19:17

tigerbine

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Wir wollen hier auch Raum zum Trainieren bieten. Deswegen bitte ich ja nur darum, konkrete Aufgabennummer und Jahr zu nennen. Mehr nicht. smile

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