Beweis Quartilabstand

22.07.2010, 19:58

Statistiker83

Beweis Quartilabstand

Meine Frage:
Hallo,

sitze gerade vor folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für jede beliebige Messreihe gilt:
Mindestens 50% aller Messwerte liegen im Intervall [Q1,Q3]

Mir fehlt jeglicher Ansatz. Wie fange ich an?
Kann ich hiermit was anfangen?

Meine Ideen:
x(0,75*n) - x(0,25*n) = x(0,5*n)

22.07.2010, 21:26

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Das folgt direkt aus der exakten (!) Definition der Quantile:

Zitat:

Eine Zahl $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ nennt man $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Quantil der Stichprobe, wenn höchstens $\begin{eqnarray*} \alpha\cdot 100% \end{eqnarray*}$ der Stichprobenwerte kleiner als $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ sind UND mindestens $\begin{eqnarray*} \alpha\cdot 100% \end{eqnarray*}$ der Stichprobenwerte kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ sind.

Man beachte die Feinheiten dieser Definition!

Die Quartile sind ein Spezialfall dieser Definition: $\begin{eqnarray*} Q_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} Q_3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ .

Genauso folgt aus dieser Definition, dass im offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (Q_1,Q_3) \end{eqnarray*}$ dann höchstens 50% der Messwerte liegen.

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