Ableitung impliziter Funktionen

23.07.2010, 12:26

Ableitung impliziter Funktionen

hey liebe Voll-Mathematiker (oder auch andere :P)
ich hab hier ne Afugabe, die ich leider nicht zu lösen weiß..

ich soll von dieser impliziten Funktion das , $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ bilden...
weiß aber nicht so recht, wie das gehen soll unglücklich

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y(x)cos(y(x))-cos(x)=1 \end{eqnarray*}$

ich hoffe auf Tipps oder auf die Lösung...

meine Vermutung ist dass 1-cos(x) eine Konstante ist die dann beim Ableiten wegfällt :S

23.07.2010, 12:41

Cel

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Ist das die komplette Aufgabe? Oder sollst du die Ableitung in einem speziellen Punkt berechnen? Ich tippe auf $\begin{eqnarray*} x = \pi \end{eqnarray*}$ ?

23.07.2010, 12:46

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ne das is die aufgabe
ich soll halt die Ableitung dy/dx bestimmen für diese implizite Funktion...
kann evtl versuchen nen foto davon zu besorgen (war ne klausur aufgabe heute^^)

Die Parametrisierungen habe ich ganz gut hinbekommen dank deiner Hilfe ^^

23.07.2010, 12:53

Cel

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Zitat:

Original von TB
Die Parametrisierungen habe ich ganz gut hinbekommen dank deiner Hilfe ^^

Schon mal gut. Big Laugh

OK, dann hättest du strikt nach Schema F vorgehen sollen. Mit Kettenregel ableiten.

23.07.2010, 14:18

corvus

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RE: Ableitung impliziter Funktionen

Zitat:

Original von TB

ich soll von dieser impliziten Funktion das , $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ bilden...
weiß aber nicht so recht, wie das gehen soll unglücklich

$\begin{eqnarray*} y(x)cos(y(x))-cos(x)=1 \end{eqnarray*}$
meine Vermutung ist dass 1-cos(x) eine Konstante ist
die dann beim Ableiten wegfällt :S

du willst nach x ableiten (siehe dy/dx) ?
und da schreibst du , dass dabei 1-cos(x) eine Konstante ist..
na ja..

und: du wirst nicht nur die Kettenregel , sondern auch die Produktregel verwenden ..
.. solltest halt mal nachlesen, was mit diesen Begriffen wohl gemeint sein könnte verwirrt

.

$\begin{eqnarray*} y(x)cos(y(x))-cos(x)=1 \end{eqnarray*}$

Trainingsidee:

$\begin{eqnarray*} x= arccos \left[ y \cdot cos(y)-1 \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} = \end{eqnarray*}$
.

23.07.2010, 14:51

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hi. danke für die Anregungen.
Füge die Aufgabe jetzt auch nochmal an.

Zu Allererst kann ich ja mal sagen was ich gemacht habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}: y'(x)cos(y(x))+y(x)(-sin(y(x))y'(x)-0=0 \end{eqnarray*}$

warum ich jetzt dir (corvus) widersprechen würde:

Da ich y nach x ableiten soll denke ich, ist es ein Unterschied, ob ich angegebene Funktion nach x ableite, oder alle Funktion, die von x abhängig sind, nach x ableite.
Nur für den Fall dass y(x)=cos(x) müsste ich das cos(x) auch ableiten.
Meine Meinung (kann ja natürlich auch falsch sein ^^)
Wie du siehst, habe ich Produktregel angewandt-

Und zu Cel:
wie du siehst habe ich auch die Kettenregel angewandt...

In summa: Die Aufgabe hat mir deshalb Problemchen bereitet, weil es eben hieß, ich solle y nach x ableiten, aber es noch eine weitere Abhängigkeit von x gab...

Wenn das tatsächlich stimmt, was corvus sagt, hätte ich wohl cos(x) auch ableiten müssen.
Im Übrigen steht bei deiner "Trainingsidee" dx/dy... aber am Anhang und in meiner Aufgabe zu sehen, ist dy/dx gesucht...

(im kopf schwirrt gerade die Invertorregel herum...)

23.07.2010, 15:02

corvus

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Zitat:

Original von TB

Im Übrigen steht bei deiner "Trainingsidee" dx/dy... aber am Anhang
und in meiner Aufgabe zu sehen, ist dy/dx gesucht...

(im kopf schwirrt gerade die Invertorregel herum...)

lass doch deinem Vogel mal freien Flug.. smile

oder stell dich mal selbst auf den Kopf : 1/[dx/dy] = verwirrt

piepst's?

nebenbei:
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}: y'(x)cos(y(x))+y(x)(-sin(y(x))y'(x)-0=0 \end{eqnarray*}$

nach dieser deiner Rechnung wäre also

$\begin{eqnarray*} y'(x) \cdot \left[ cos(y(x))+y(x)(-sin(y(x))\right]= 0 \end{eqnarray*}$

und demnach

$\begin{eqnarray*} y'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ verwirrt

23.07.2010, 15:45

Mystic

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RE: Ableitung impliziter Funktionen

Zitat:

Original von corvus
$\begin{eqnarray*} y(x)cos(y(x))-cos(x)=1 \end{eqnarray*}$

Trainingsidee:

$\begin{eqnarray*} x= arccos \left[ y \cdot cos(y)-1 \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} = \end{eqnarray*}$

Hm, ich fürchte, da bist du irgendwie auf Abwege geraten... x als Funktion von y ausdrücken und dann nach y differenzieren ist ja wohl sowas wie das genaue Gegenteil von implizit differenzieren... geschockt

Ne, warum nicht einfach die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y(x)cos(y(x))-cos(x)=1 \end{eqnarray*}$

mit Hilfe von Produkt- und Kettenregel nach x ableiten und aus der entstehenden linearen(!) Gleichung für y'(x) dann y'(x) ganz einfach ausrechnen? verwirrt

23.07.2010, 16:24

corvus

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RE: Ableitung impliziter Funktionen

Zitat:

Original von Mystic

Hm, ich fürchte, da bist du irgendwie auf Abwege geraten...

x als Funktion von y ausdrücken und dann nach y differenzieren
ist ja wohl sowas wie das genaue Gegenteil von implizit differenzieren... geschockt

hi Mystic

super erkannt .. nur:
was du offenbar nicht mitbekommen hast:
die "Trainingsidee" war ein Hinweis darauf, dass das x ja eine gewisse Rolle spielen könnte smile

(was TB mit seiner Bemerkung :
"meine Vermutung ist dass 1-cos(x) eine Konstante ist"
wohl noch nicht so ganz realisiert hatte.)

...und wenn du lesen könntest:
(siehe oben):
.. du wirst nicht nur die Kettenregel , sondern auch die Produktregel verwenden
... ist doch das, was du da schreibst:

Zitat:

Original von Mystic
Ne, warum nicht einfach die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y(x)cos(y(x))-cos(x)=1 \end{eqnarray*}$

mit Hilfe von Produkt- und Kettenregel nach x ableiten(

und jetzt noch dazu:

Zitat:

Original von Mystic
und aus der entstehenden linearen(!) Gleichung für y'(x) ..

zeig doch bitte mal mal deine lineare Gleichung -> ?
.

24.07.2010, 00:33

Mystic

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RE: Ableitung impliziter Funktionen

Zitat:

Original von corvus
zeig doch bitte mal mal deine lineare Gleichung -> ?

Ich versteh zwar hier sowieso nur mehr Bahnhof, aber bitte, die lineare Gleichung in y' kann ich dir gerne zeigen:

$\begin{eqnarray*} y \cos y -\cos x =1 \Rightarrow y' \cos y -yy' \sin y +\sin x =0 \end{eqnarray*}$

Das ist doch eindeutig eine lineare Gleichung in y', oder etwa nicht? verwirrt

24.07.2010, 00:42

Cel

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Ich werfe einfach mal ein, dass ich genau so wie Mystic vorgegangen bin und mein Tipp an TB genau so gemeint war. smile

24.07.2010, 08:24

Mystic

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Zitat:

Original von Cel
Ich werfe einfach mal ein, dass ich genau so wie Mystic vorgegangen bin und mein Tipp an TB genau so gemeint war. smile

Ja, dein Vorschlag war im Prinzip korrekt, wobei ich - jetzt nur als kleine Anmerkung - empfehle, die Anwendung von "fertigen Formeln" zu vermeiden wie hier

$\begin{eqnarray*} y'=- \frac {F_x}{F_y} \end{eqnarray*}$

für die Ableitung y' einer implzit durch F(x,y)=0 gegebenn Funktion... Zumindestens in diesem Beispiel ist es wahrscheinlich am einfachsten "frisch und fröhlich", wie von mir vorgezeigt, drauflos zu differenzieren und aus der erhaltenen Gleichung dann y' zu berechnen, d.h., am konkreten Beispiel einfach den Weg nochmals nachzuvollziehen, der zu obiger Formel führte... Augenzwinkern

24.07.2010, 09:43

corvus

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RE: Ableitung impliziter Funktionen

Zitat:

Original von Mystic

Bahnhof, aber bitte,
$\begin{eqnarray*} y \cos y -\cos x =1 \Rightarrow y' \cos y -yy' \sin y +\sin x =0 \end{eqnarray*}$

Das ist doch eindeutig eine lineare Gleichung in y', oder etwa nicht? verwirrt

also, da sind wir uns darüber einig:
1) $\begin{eqnarray*} y' \cos y -yy' \sin y +\sin x =0 \end{eqnarray*}$
das ist ganz genau das, was ich zu Beginn schon vorgeschlagen habe:
mit Produkt-,Kettenregel und der Ableitung von (dem nicht Konstanten!) cos(x) smile

2) dass dabei y' nur linear auftaucht ist auch nicht in Frage..

aber

Zitat:

und aus der entstehenden linearen(!) Gleichung für y'(x)

da steht mit
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{- \sin(x) }{\cos(y)-y\cdot \sin(y) } \end{eqnarray*}$
doch wohl keine lineare Gleichung für y' ?

auch scheint mir
$\begin{eqnarray*} y' \cos y -yy' \sin y +\sin x =0 \end{eqnarray*}$
keine lineare DGL erster Ordnung (falls du das meinst) zu sein ?
oder?
.

24.07.2010, 10:15

Mystic

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RE: Ableitung impliziter Funktionen
Nun, linear in y' habe ich hier einfach in dem naiven Sinne gebraucht, dass y' nirgendwo in einer höheren Potenz als der ersten vorkommt und natürlich auch keine nichtlineare Funktion über y' "darübergestülpt" wurde... Käme z.B. ein nichtkürzbarer Term wie z.B. sin(y') vor, so wäre das Ganze dann klarerweise nichtlinear in y', obwohl y' selbst nur in erster Potenz vorkommt...

Du kannst die Wendung "linear in y' " gerne durch etwas ersetzen, was die Sache deiner Meinung nach besser trifft, entscheidend ist aber, und das sollte aus meinen Ausführungen klar hervorgegangen sein, dass man nach dem impliziten Ableiten y' aus der entstehenden Gleichung in einfachster Weise als Funktion von x und y berechnen kann...

Aber wenn du das ohnehin selber gesehen und auch vorgeschlagen hast (wenngleich du diesen Weg dann - aus welchen Gründen auch immer - nicht weiter verfolgt hast), dann ist das Ganze eh ein "Streit um des Kaiser's Bart"... Augenzwinkern

24.07.2010, 12:04

corvus

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RE: Ableitung impliziter Funktionen

Zitat:

Original von Mystic
(wenngleich du diesen Weg dann - aus welchen Gründen auch immer - nicht weiter
verfolgt hast)..

falls dir das nicht klar ist:
Grund war, dass ich den Fragesteller die Schritte selber finden/machen lassen wollte..
was ja dann teilweise schon erfolgreich geschah .. fehlte nur noch der Summand (cosx)' ..

siehe den letzten Beitrag von TB und meine Antwort darauf, die ihn anregen sollte
den fehlenden Teil selbst zu finden.

aber dankenswerterweise hast du ja anschliessend das Resultat richtig vollständig geliefert..

und von Streit um irgendwelche Bärte sei nicht die Rede
es ist schlicht falsch , das Ergebnis als " lineare Gleichung für y'(x)" zu verkaufen.

hören wir doch einfach so auf, wie du so schön angefangen hast: Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mystic
Hm, ich fürchte, da bist du irgendwie auf Abwege geraten

also dann.. Prost

25.07.2010, 22:28

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moin zusammen.
war leider weg, deshalb erst jetzt der Post.
hab übers WOchenende eigtl nur sehr kurz darüber nachgedacht, da ich dachte, nach

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x= arccos \left[ y \cdot cos(y)-1 \right] \end{eqnarray*}$

wäre das thema beendet ^^.
Weil so wie ich die Invertorregel im Kopf habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\frac{dx}{dy}} \end{eqnarray*}$

hätte ich einfach das abgeleitet und dann den Kehrwert gebildet, im Sinne von:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(arccos \left[ y \cdot cos(y)-1 \right])'} = -\left( arccos\left[ y \cdot cos(y)-1 \right] \right)'<br /> \end{eqnarray*}$

Aber anscheinened ist das ja wohl nicht des Problems Lösung...
Zum einen weil ja anscheinend auch das cos(x) abgeleitet werden muss... was ich leider nicht verstehe, weil ja konkret in der Aufgabe stand ich soll y(x) ableiten...Andererseits aber ja schon gezeigt wurde, dass ich da y'(x) als Nullstelle habe.
[bei meiner Lösung fehlte also das -sin(x) - wieso auch immer]

Ob das jetzt eine DGL erster Ordnung war oder eine lineare Gleichnug von y'(x) war ja nicht gefragt ^^

Was mir nun nach der ganzen DIskussion immer noch schleierhaft ist , bleibt weiterhin das

Zitat:

Die Aufgabe hat mir deshalb Problemchen bereitet, weil es eben hieß, ich solle y nach x ableiten, aber es noch eine weitere Abhängigkeit von x gab...

weil das hat bisher noch keiner erklärt :P

25.07.2010, 23:21

corvus

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Zitat:

Original von TB
ich soll von dieser impliziten Funktion das , $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ bilden...
weiß aber nicht so recht, wie das gehen soll unglücklich

$\begin{eqnarray*} y(x)cos(y(x))-cos(x)=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von TB

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x= arccos \left[ y \cdot cos(y)-1 \right] \end{eqnarray*}$

wäre das thema beendet ^^.
Weil so wie ich die Invertorregel im Kopf habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\frac{dx}{dy}} \end{eqnarray*}$
.. nimm einen anderen Kopf .. denn das ist falsch

hätte ich einfach das abgeleitet und dann den Kehrwert gebildet, im Sinne von:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(arccos \left[ y \cdot cos(y)-1 \right])'} = -\left( arccos\left[ y \cdot cos(y)-1 \right] \right)'<br /> \end{eqnarray*}$ geschockt

siehst du selbst den neuen Unfug, den du da schreiibst?

Aber anscheinened ist das ja wohl nicht des Problems Lösung...
aber nur, weil der Lösungsweg vorgeschrieben war: implizite Ableitung

Was mir nun nach der ganzen DIskussion immer noch schleierhaft ist , bleibt weiterhin das

Zitat:

Die Aufgabe hat mir deshalb Problemchen bereitet, weil es eben hieß,
ich solle y nach x ableiten, aber es noch eine weitere Abhängigkeit von x gab... unglücklich

weil das hat bisher noch keiner erklärt geschockt

also nochmal:

gegeben war
$\begin{eqnarray*} y(x)cos(y(x))-cos(x)=1 \end{eqnarray*}$
und das Problemchen ist, dass es dir wohl nicht gelingt, dies aufzulösen
nach y(x) = ..... (versuchs doch mal )

und obwohl du das also nicht schaffst, kannst du die Ableitung y' =dy/dx
trotzdem (eben mit impliziter Ableitung) finden

merke: Ableiten nach x heisst: sämtliche Terme, die das x enthalten
(in deinem Beispiel das y(x) und der cos(x)) nach allen Regeln der Kunst
abzuleiten
(.. dann ist zB die Ableitung von dem Faktor y(x) eben y(x)*(dy/dx) .. usw)

und wenn du das überall schön nach x abgeleitet hast,
kannst du am Schluss nach y' =dy/dx sortieren , so wie es oben irgendwo steht:

$\begin{eqnarray*} y' =\frac{dy}{dx} = \frac{- \sin(x) }{\cos(y)-y\cdot \sin(y) } \end{eqnarray*}$

und damit hast du von deiner implizit gegebenen Funktion y(x) ..
die du ja nichtmal nach y=.. umformen konntest
elegant die Ableitung in der nach dy/dx= aufgelösten Form

und das war doch die Aufgabe: dy/dx zu berechnen ... oder?
.

26.07.2010, 00:22

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ahso

jo danke erst mal für die nette Zusammenfassung...
ich war halt der Auffassung dass es einen unterschied gibt, ob ich nun" y nach x "ableite, oder aber nur "nach x" ableite.

Da ich felsenfest davon überzeugt war, hab ich in der Klausur eben das cos(x) nicht abgeleitet, sonst wäre die Zusammenfassung auch eine schöne, wie du sie eben da stehen hattest...
naja man lernt immer dazu.

Mit der Invertorregel wärs aber doch schön asozial geworden, v.a. weil man dann den arccos ableiten müsste... :S theoretisch machbar, aber trotzdem ^^

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