Grenzwert im Zweidimensionalen

23.07.2010, 14:35

kleins

Grenzwert im Zweidimensionalen

Hallo,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht so recht weiß, wie ich das anfangen soll:

1. Berechnen sie die folgenden Grenzwerte, sofern sie existieren:

a) $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (\pi,0)} exp(-xy)*cos(x) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} x²y/(x²+y²) \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (3,3)} (x-3)/(x-y) \end{eqnarray*}$

Kann ich da die Variablen durch Folgen substituieren? Ich hab bei b) versucht, x und y durch 1/n zu ersetzen und dann den Grenzwert n gegen unendlich berechnet und bekomme dann 0 raus. Aber mithilfe von einer Folge kann ich doch eigentlich nur zeigen, dass ein GW nicht existiert...
Und bei den anderen zwei Aufgaben komme ich auf die Art nicht weiter.

Es wäre super, wenn ihr mir helfen könntet!

23.07.2010, 14:59

schultz

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bei a) kannst du einfach deine werte einsetzen, da deine funktion eine komposition aus stetigen funktionen ist.

23.07.2010, 15:09

wogir

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Zitat:

Original von schultz
bei b) kannst du mit geeigneten anderen folgen zeigen dass der grenzwert nicht existiert.

Echt? Bei b) würde ich ne geschickte Abschätzung machen.

Bei c) könnte man folgen $\begin{eqnarray*} (3+1/n,3+1/n^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (3+1/n^2,3+1/n) \end{eqnarray*}$ untersuchen.

23.07.2010, 15:12

schultz

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nein hab gemerkt dass b) doch nicht so einfach war, deswegen hab ichs auch rauseditiert

23.07.2010, 15:15

Cel

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...

War doch falsch ... Willkommen in Club, Schultz Big Laugh

23.07.2010, 15:16

wogir

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Zitat:

Original von Cel
Also ich denke auch, dass man bei b) leicht durch eine ganz einfache Folge zeigen kann, dass der GW nicht existiert.

Ok, verrat mal. Würd mich interessieren ob ich grad zu blind bin.

EDIT: boah Leute. Erst denken, dann schreiben. Prost

24.07.2010, 08:04

kleins

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okay, danke, auf a hätte ich auch selbst kommen können, ist ja offensichtlich Hammer

Den Ansatz, den du bei c) vorschlägst, verstehe ich nicht. Wie kommst du darauf?

24.07.2010, 10:11

Shortstop

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Hallo kleins, AnaII in Siegen?

Grüße Big Laugh

24.07.2010, 10:33

Shortstop

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RE: Grenzwert im Zweidimensionalen
Kann leider nicht mehr editieren, mir ist da noch was eingefallen zu b)

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} x²y/(x²+y²) = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x²}{(x²+y²)}\cdot y \end{eqnarray*}$

Beschränkte Folge mal eine Nullfolge...

24.07.2010, 12:02

wogir

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Zitat:

Original von kleins
okay, danke, auf a hätte ich auch selbst kommen können, ist ja offensichtlich Hammer

Den Ansatz, den du bei c) vorschlägst, verstehe ich nicht. Wie kommst du darauf?

Das sind zwei verschiedene Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ die offensichtlicherweise für $\begin{eqnarray*} n\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} (3,3) \end{eqnarray*}$ konvergieren. Probier doch mal, das einzusetzen und schau wie weit du kommst.

24.07.2010, 14:06

kleins

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Ja, kvnb, Ana II in Siegen Augenzwinkern

Danke Wogir, jetzt hab ichs. Für die erste Folge geht dann der GW gegen unendlich, d.h. der Ausdruck konvergiert nicht. Hatte nicht verstanden, was du meintest.
Aber jetzt ist es klar, danke euch :-)

24.07.2010, 14:08

Shortstop

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Zitat:

Original von kleins
Ja, kvnb, Ana II in Siegen Augenzwinkern

Hehe, da kamen mir die Aufgaben doch bekannt vor. Viel Glück am Montag Augenzwinkern

Ach übrigens, der Fricke sagte dass diese Grenzwertaufg. wohl nicht drankommen.

24.07.2010, 14:32

wogir

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Zitat:

Original von kleins
Ja, kvnb, Ana II in Siegen Augenzwinkern