Polynomaufgabe Baltic-Way Competition 2008

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Limo Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomaufgabe Baltic-Way Competition 2008
Hi,

ich wollte als Übung folgende Aufgabe machen, bleibe dabei aber immer stecken. Das Hauptproblem ist, ich weiß nicht, wie man bei so einer Aufgabe ansetzen soll. Kann mir da jemand helfen?


Bestimme alle Polynome p(x) mit reellen Koeffizienten, die

p((x + 1)^3) = (p(x) + 1)^3 und p(0) = 0

erfüllen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomaufgabe Baltic-Way Competition 2008
Du könntest ja mal x = 0 in die Gleichung einsetzen. Vielleicht kommen dir danach weitere Ideen.
 
 
Limo Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh, es schaut schon besser aus.

x = 0 => p(1) = 1
x = 1 => p(8) = 8
x = 8 => p(9^3) = 9^3

Sieht mir nach den Winkelhalbierenden aus. Aber wie kann ich des beweise? Wär ja jetz im prinzip nur ne folge von Zahlen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst jetzt schon mal beweisen, dass es eine streng monoton steigende Folge von gibt, für die gilt. Wegen der strengen Monotonie sind die alle voneinader verschieden.

Du hast außerdem eine Vermutung über ein bestimmtes Polynom, das die Bedingungen erfüllen könnte und du kannst ebenfalls leicht beweisen, dass es das wirklich tut.

Was kann man aus beiden Informationen zusammen schließen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nette Aufgabe. Sicher interessant, was alles für Lösungen möglich sind, wenn die Polynomvoraussetzung fehlt. Augenzwinkern
Limo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Du kannst jetzt schon mal beweisen, dass es eine streng monoton steigende Folge von gibt, für die gilt. Wegen der strengen Monotonie sind die alle voneinader verschieden.

Du hast außerdem eine Vermutung über ein bestimmtes Polynom, das die Bedingungen erfüllen könnte und du kannst ebenfalls leicht beweisen, dass es das wirklich tut.

Was kann man aus beiden Informationen zusammen schließen?


Wie kann ich dann ausschließen, dass es wirklich keine anderen Polynome gibt.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn 2 Polynome unendlich viele Schnittpunkte haben, dann sind sie schon gleich.
Limo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Wenn 2 Polynome unendlich viele Schnittpunkte haben, dann sind sie schon gleich.


Mir geht es mehr darum, wie kann ich beweisen, dass es wirklich nur diese beiden Polynome als Lösungen gibt.

Ich kann eigentlich nur zeigen, dass für bestimmte n gilt f(n) = n, aber vielleicht gibt es noch andere Polynome, die das erfüllen.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst meinen Tipp nicht ganz verstanden zu haben.

Du weißt 2 Sachen:

p(x)=x erfüllt die Bedingung.

Sei q ein weiteres Polynom, dass die Bedingung erfüllt.
Wir wissen, dass es eine streng monotone Folge gibt mit


Nun betrachte mal das Polynom r mit . r ist ein Polynom, hat also endlich viele Nullstellen. Es sei denn....
Limo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Du scheinst meinen Tipp nicht ganz verstanden zu haben.

Du weißt 2 Sachen:

p(x)=x erfüllt die Bedingung.

Sei q ein weiteres Polynom, dass die Bedingung erfüllt.
Wir wissen, dass es eine streng monotone Folge gibt mit


Nun betrachte mal das Polynom r mit . r ist ein Polynom, hat also endlich viele Nullstellen. Es sei denn....



Meinst du es kann keine anderen Polynome geben, weil es kein Polynom mit unendlich vielen Nullstellen gibt, das nicht das "Nullpolynom" ist.

Warum kannst du ein Polynom von einer Folge subtrahieren? Ich glaub ich steh voll auf dem Schlauch. Sorry.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand substrahiert hier eine Polynom von einer Folge. unglücklich

Betrachtet wird . Sind und Polynome, dann ist deren Differenz zwangsläufig natürlich auch ein Polynom.

Nun weißt du aus deinen Überlegungen, dass sämtliche Glieder der streng monoton wachsenden Folge Nullstellen dieses Polynoms sind, d.h., hat unendlich viele (!) Nullstellen. Was bedeutet das für dieses Polynom ? Diese Antwort hast du ja eigentlich schon gegeben

Zitat:
Original von Limo
Meinst du es kann keine anderen Polynome geben, weil es kein Polynom mit unendlich vielen Nullstellen gibt, das nicht das "Nullpolynom" ist.

, obwohl du dann anschließend wirres Zeug geredet hattest.
Limo Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt würd ich noch gern wissen, woher das Polynom q kommt. Ich denk dann hab ich es verstanden. p ist ja gegeben.

Ist q einfach das Polynom für das gilt q(n) = n (n Glied der Folge)?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

ist einfach irgendein Polynom, was die Aufgabe erfüllt.

Vielleicht wäre es didaktisch besser gewesen, es bei der Bezeichnung zu belassen, und dann aber die eine bereits gefundene Lösung zu nennen, o.ä.
Limo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub ich versteh generell den Lösungsansatz nicht.

Man nimmt ein Polynom q für das die Vorraussetzungen der Folge gelten. Und Subtrahiert von ihm das Polynom p.

Aber für p gelten ja die gleichen Vorraussetzungen (prinzipell ist p dann q). Wo schließt der Beweis andere Polynome aus?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Limo
Aber für p gelten ja die gleichen Vorraussetzungen (prinzipell ist p dann q). Wo schließt der Beweis andere Polynome aus?

Wenn man zeigt, dass deren Differenz zwangsläufig das Nullpolynom sein muss, dann ist das schon ein Beweis, dass nur dieses eine Polynom p Lösung sein kann, oder etwa nicht?

Du musst auch mal einen kleinen Schritt selbst nachvollziehen können, ohne dass er in die kleinsten Mikrofasern zerlegt wird - sonst lass doch bitte solche Aufgaben lieber ganz sein.
Limo Auf diesen Beitrag antworten »

Oke, danke für die Hilfe.

Mir war nur schleierhaft warum man einfach annehmen konnte das man alle anderen Polynome ausschließen konnte, wenn man 2 gleiche Polynome voneinander subtrahiert. ^^

(hoff das hab ich jetz richtig formuliert)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Mir scheint, du hast das noch immer nicht verstanden. Wenn man zwei gleiche Polynome subtrahiert, hat man gar nichts bewiesen. Der Beweis besteht doch darin, dass man erst mal unterstellt, es gäbe noch ein anderes Polynom q(x). Weil sich dann aber ergibt, dass q(x) - x = 0 gelten muss, kann q(x) kein anderes Polynom sein.

Nimm dir den Rat von Arthur zu Herzen und lass die Finger von solchen Aufgaben.
Limo Auf diesen Beitrag antworten »

War halt meine allererste Aufgabe soeiner Form. Und hab mich leider auch nur 20 Minuten drangesetzt, ggf nur kurz geguckt und gepostet. Aufgeben geht gar nicht.

Und zum letzten ich hab im Präteritum geschrieben... aber wenn ihr meint. ^^

Also sorry für die Unanehmlichkeiten, kann gecloset werden.
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