Taylorreihe

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Andi24 Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe
Hallo,

die Aufgabe lautet, die Taylorreihe von f(x)=x*exp(x) im Entwicklungspunkt 1 zu berechnen, dann den Konvergenzradius zu bestimmen und dann zu Entscheiden ob die Funktion durch die Taylorreihe dargestellt wird.

ok für die n-te Ableitung von f hab ich:


Somit für die T-Reihe in 1:


Also hab ich ne Potenzreihe mit

Und als Konvergenzradius hab ich unendlich raus, also konvergiert die Taylorreihe für alle reellen x.

Jetzt zur Sache, wo ich unsicher bin, und zwar ob die Funktion durch die T-Reihe dargestellt wird...

Also ich hab das Restglied R_n aufgestellt:



Ist das richtig, dass die Funktion nur für durch die T-Reihe beschrieben wird?! sonst wächst der Term (x-1)^{n+1} doch viel zu schnell....

Freue mich über Rückmeldungen Augenzwinkern
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Taylorreihe von um Punkt a:



überall !

Daraus Taylorreihe von um 1 sieht also überall wie aus?
Andi24 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie kann ich deinen Tipp noch nicht "verarbeiten" ,ich hab keine Ahnung wie ich daraus jetzt die Taylor-Reihe aufstellen soll unglücklich

In der Form, wie ich sie hier gepostet habe, müsste sie doch stimmen, oder nicht?!

Was ich mir jetzt noch überlegt habe ist, dass für n gegen unendlich gegen 0 konvergiert, also noch bleibt wann der teil endlich ist.

Mir scheint so als hätt ich bei dem Thema grad nen sehr sehr dickes Brett vorm Kopf Augenzwinkern
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Andi24
Irgendwie kann ich deinen Tipp noch nicht "verarbeiten" ,ich hab keine Ahnung wie ich daraus jetzt die Taylor-Reihe aufstellen soll unglücklich

Nach dem was ich darüber geschrieben hab gilt



Jetzt Ausmultiplizieren und mit Indexverschiebung zusammenfassen.

Merke: Wenn du irgendeine Reihe der Form hast, ist es nach dem Identitätssatz für Potenzreihen automatisch identisch mit der Taylorreihe um a. Du wirst damit dann auf die gleiche Reihe kommen, die du oben schon mit Taylorformel ausgerechnet hast, aber du hast durch diese Herleitung schon geschenkt, dass es überall mit der Funktion identisch ist. Es ist immer geschickter (und eleganter) so einen Trick zu sehen. Diese Aufgaben sind auch meist so gestellt, dass es einen Trick gibt.

Wenn du aber darauf bestehst die Abschätzung zu machen:

ist irgendeine Konstante, damit das gegen 0 geht genügt zu zeigen dass

sowie für alle
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