extrema mit nebenbedingung

23.07.2010, 19:32

flixe

extrema mit nebenbedingung

hi,
folgende Aufgabe:

Elliptischer Parabolloid: $\begin{eqnarray*} (x-\frac{1}{2})^{2}+(y+\frac{1}{4})^{2}=-2z+12 \end{eqnarray*}$

wird geschnitten mit der Ebene: $\begin{eqnarray*} -x+\frac{y}{2}+2z=\frac{43}{16} \end{eqnarray*}$

es sollen nun der höchste und der tiefste Punkt dieser Schnittkurve C berechnet werden.

Die Schnittkurve C ergibt sich beim Schneiden der beiden Gleichungen zu $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=9 \end{eqnarray*}$ , was ja einen Kreis in der xy-Ebene beschreibt.

Seh ich das richtig, dass der Parabolloid die Zielfunktion und der Kreis die Nebenbedingung ist?

23.07.2010, 19:55

corvus

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RE: extrema mit nebenbedingung

Zitat:

Original von flixe

Elliptischer Parabolloid: $\begin{eqnarray*} (x-\frac{1}{2})^{2}+(y+\frac{1}{4})^{2}=-2z+12 \end{eqnarray*}$

wird geschnitten mit der Ebene: $\begin{eqnarray*} -x+\frac{y}{2}+2z=\frac{43}{16} \end{eqnarray*}$

Die Schnittkurve C ergibt sich beim Schneiden der beiden Gleichungen zu

$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=9 \end{eqnarray*}$ , was ja einen Kreis in der xy-Ebene beschreibt.

.. genau..
..und da aber die Punkte auf der Oberfläche des Elliptischen Paraboloids, die
zugleich in der xy-Ebene herumliegen (dh für die z=0 ist) sich auf dem Kreis

$\begin{eqnarray*} (x-\frac{1}{2})^{2}+(y+\frac{1}{4})^{2}=12 \end{eqnarray*}$
tummeln, wäre es vielleicht eine gute Idee, wenn du dir zuallererst nochmal
Gedanken zu deiner "Schnittkurve" C machen würdest..

oder? smile

23.07.2010, 20:23

flixe

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also ich werde grad aus deinem post nicht wirklich schlau.

ich verstehe nicht, was der schnittkreis vom Paraboloid mit der x,y-Ebene mit der Kurve C zu tun hat.

habe grad mal in die lösung geguckt und dort wurde auch der kreis mit r=3 als nebenbedingung verwendet, allerdings die ebene statt des paraboloids als zielfunktion.

23.07.2010, 20:54

corvus

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Zitat:

Original von flixe
also ich werde grad aus deinem post nicht wirklich schlau.

ich verstehe nicht, was der schnittkreis vom Paraboloid mit der x,y-Ebene mit der Kurve C zu tun hat.

Aufgabe ist doch:
Paraboloid wird geschnitten mit Ebene ...

es sollen nun der höchste und der tiefste Punkt dieser Schnittkurve C berechnet werden.
oder?

und vielleicht wirst du schlau, wenn du dir klarmachst, dass diese Schnittkurve C
sowohl auf dem Paraboloid, als auch in der Ebene:
$\begin{eqnarray*} -x+\frac{y}{2}+2z=\frac{43}{16} \end{eqnarray*}$
liegen sollte?

um es ganz krass zu sagen:
nur gerade mal zwei Punkte des von dir verdächtigten Kreises
$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=9 \end{eqnarray*}$
liegen in deiner Ebene
(und wie ich dir oben klarmachen wollte, C ist auch nicht auf dem Paraboloid).
ergo:
dein C: $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=9 \end{eqnarray*}$ ist nicht die Schnittkurve

und deshalb solltest du mal beginnen, nachzudenken.. Wink

24.07.2010, 16:56

flixe

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ok, also der kreis ist nicht die schnittkurve.

aber wie schneidet man in der mathematik 2 gebilde? man setzt ihre Funktionsterme gleich. und wenn ich das tue kommt eben dieser kreis bei raus. und da das nicht klappt, wie komme ich jetzt auf die gleichung von C?

25.07.2010, 00:17

corvus

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Zitat:

Original von flixe
ok, also der kreis ist nicht die schnittkurve. Freude

..und wenn ich das tue kommt eben dieser kreis bei raus. nein

und da das nicht klappt, wie komme ich jetzt auf die gleichung von C?

aber genau dazu solltest du dir doch selbst mal ein paar Gedanken machen?.. Gott

geht es dir in den Kopf, dass die Schnittkurvre C (Ebene geschnitten mit Paraboloid)
eine Raumkurve (schon mal von sowas gehört?) sein muss?

.. und dass der im Grundriss liegende Kreis x^2+y^2=9 nur die senkrechte Projektion
von C auf die xy-Ebene sein könnte?

nur ein Beispiel dazu (prüfe das selbst nach):
der Punkt P( 3 ; 0 ; 91/32 ) erfüllt die Paraboloid-Gleichung , liegt also auf dessen Oberfläche
der Punkt P( 3 ; 0 ; 91/32 ) erfüllt die Ebenengleichung , liegt also in der Ebene

der Punkt P( 3 ; 0 ; 91/32 ) ist demnach ein Punkt auf der Schnittkurve C im Raum.

die Projektion von P in den Grundriss, also P'( 3 ; 0 ; 0 ) liegt auf dem Kreis x^2+y^2=9

du kannst dir jetzt vielleicht beliebig viele weitere Punkte auf C ausdenken?
(und eh ich es vergesse: die Gleichung von C interessiert eigentlich hier gar nicht) smile

dh:
überlege nun, wo alle diese Punkte von C also offensichtlich herumliegen werden.. verwirrt

was meinst?

ganz nebenbei:
Kreise sind zwar auch Ellipsen.. aber trotzdem:
wer hat dir das gegebene Paraboloid als elliptisch verkauft?

25.07.2010, 12:21

Seanbasti

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Hallo Corvus,

also uns ist klar, das die Ebene geschnitten mit Paraboloid eine Raumkurve sprich Schnittkurve C ist.

Wir wollen nur das Volumen berechnen von dem "Rest", welcher ober halb der Schnittkurve liegt also so ne kleine Haube. Von unserem Verständnis her, dachten wir, dass wenn ich P und E schneiden lassen, etwas rauskommt was wir nach z auflösen können um es dann beim dreifachen Integrieren für z als untere Grenze einsetzen müssen.

$\begin{eqnarray*} \int_\phi^\phi \! \int_r^r \! \int_{z_{u}}^{z_{o}} \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} z_{unten} \end{eqnarray*}$ C ist

Wir denken halt das C deshalb für uns so wichtig ist, da wir ansonsten nicht wissen wie die Grenzen $\begin{eqnarray*} z_{unten} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{oben} \end{eqnarray*}$ sind. Darum wollten wir unbedingt C

Wir haben auch schon überlegt, ob wir nicht den Zylinder (der entsteht, wenn man den Kreis senkrecht nach oben zieht) nicht mit dem Paraboloid schneiden lässt, denn dann kommt man auch auf C (dachte ich)

Wir dachten somit dass die Ellipsengleichung $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = z \end{eqnarray*}$ (Wir nahmen an C wäre eine Ellipse im Raum (als Raumkurve))

a wäre in diesem Fall 2r und b wäre $\begin{eqnarray*} \sqrt{4r^{2}+{(s_{1}+s_{2})^{2}}} \end{eqnarray*}$

beides in die Ellipsengleichung einegestzt ergibt eine Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{y^{2}}{47,25} = z \end{eqnarray*}$
welche aber ein elliptisches Paraboloid ist.

Zitat:

ganz nebenbei: Kreise sind zwar auch Ellipsen.. aber trotzdem: wer hat dir das gegebene Paraboloid als elliptisch verkauft?

naja stand so in der Aufgabenstellung smile

Zitat:

Ein Hügel, der durch das elliptische Paraboloid P: $\begin{eqnarray*} (x- \frac{1}{2})^2+ (y+ \frac{1}{4})^2 = -2z+ 12 \end{eqnarray*}$ beschrieben wird, soll oberhalb der Ebene E: $\begin{eqnarray*} - x+ \frac{y}{2} + 2z=\frac{43}{16} \end{eqnarray*}$ abgetragen werden. C sei die Schnittkurve zwischen P und E.
a) Berechnen Sie den höchsten Punkt Po und den tiefsten Punkt Pu von C.
b) Wie groß ist das Volumen V der Erdmasse, die im Rahmen des Vorhabens vom Hügel abgetragen werden muss?
c) Beschreiben Sie C durch eine Funktion F

25.07.2010, 13:24

corvus

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Zitat:

Original von Seanbasti
Hallo Corvus,

also uns ist klar, das die Ebene geschnitten ................... wer ist "uns" ? böse

mit Paraboloid eine Raumkurve sprich Schnittkurve C ist.

Darum wollten wir unbedingt C

Wir haben auch schon überlegt, ob wir
nicht den Zylinder (der entsteht, wenn man den Kreis senkrecht nach oben zieht)
nicht ??? mit dem Paraboloid schneiden lässt,
denn dann kommt man auch auf C (dachte ich)
<-... auch einer in Rom redet von wir, wenn er "ich" meint .. smile

Wir dachten Freude

somit dass die Ellipsengleichung $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = z \end{eqnarray*}$ geschockt

also, machen wir es kurz:
wenn du eine eigene Aufgabe einbringen willst, dann mach doch auch
einen eigenen Laden auf.

@flixe :
.. vielleicht bekommst ja auch du noch heraus, dass der ebene Schnitt
eines Kreiszylinders , also deine Raumkurve C, eine schräg im Raum
herumliegende Ellipse sein könnte..?
wenn ja, dann solltest du darüber nachdenken, ob die oben dafür genannte
Gleichung ein "Treffer* ist..

.

25.07.2010, 14:07

Tarnfara

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Zitat:

Original von flixe
ok, also der kreis ist nicht die schnittkurve.

aber wie schneidet man in der mathematik 2 gebilde? man setzt ihre Funktionsterme gleich. und wenn ich das tue kommt eben dieser kreis bei raus. und da das nicht klappt, wie komme ich jetzt auf die gleichung von C?

Also ich kann Corvus nicht so richtig folgen.

Imo habt ihr schon das richtige Ergebnis heraus, sprich: Punkte, die sowohl auf dem Paraboloid als auch auf der Ebene liegen, müssen der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 9 \end{eqnarray*}$ genügen.

Lediglich ist eure Interpretation dieser Gleichung danebengeraten.

Zunächst einmal beschreibt diese Gleichung nicht einen Kreis, der auf der z-Ebene liegt, sondern einen in z-Richtung unbeschränkten Kreiszylinder.
Stellt euch mal ein kreisrundes Rohr vor, dass nach oben und unten unendlich lang ist und irgendwo in der Mitte den Koordinatenursprung hat. Wie würdet ihr die einzelnen Punkte dieses Rohrs beschreiben ?

Wären eure Punkte im R^3 beliebig, dann wäre das eure Lösung. Eure Punkte sind aber nicht beliebig, denn sie müssen sowohl auf der Ebene als auch auf dem Paraboloid liegen.

In "wie macht man in der Mathematik ?" gesprochen bedeutet dies:

Ich habe zwei Gleichungen, die meine Punkte erfüllen müssen:
$\begin{eqnarray*} (x,y,z) \in \text{Ebene} \land (x,y,z) \in \text{Paraboloid} \end{eqnarray*}$ , dann setze ich gleich und bekomme entweder

$\begin{eqnarray*} (x,y,z) \in \text{Kreiszylinder} \land (x,y,z) \in \text{Paraboloid} \end{eqnarray*}$ ODER
$\begin{eqnarray*} (x,y,z) \in \text{Ebene} \land (x,y,z) \in \text{Kreiszylinder} \end{eqnarray*}$
heraus.

Die Nebenbedingung ist nun klar, die zu untersuchende Funktion kann man sich aussuchen.

Viel Spaß !

25.07.2010, 14:51

Seanbasti

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@corvus - also wir sitzen zusammen an der Aufgabe smile

25.07.2010, 14:54

corvus

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Zitat:

Original von Tarnfara

Also ich kann Corvus nicht so richtig folgen.

..... arme Tarn fara smile

lies halt nochmal ganz langsam dreimal das, was ich oben notiert habe:

Zitat:

.. und dass der im Grundriss liegende Kreis x^2+y^2=9 nur die senkrechte
Projektion von C auf die xy-Ebene sein könnte?

nur ein Beispiel dazu (prüfe das selbst nach)
der Punkt P( 3 ; 0 ; 91/32 ) ...
..

und beim dritten Durchlesen wird dir vielleicht aufgehen, dass du da
deinen "unbeschränkten Kreiszylinder" inclusive hast..

Zitat:

Original von Tarnfara
Die Nebenbedingung ist nun klar, die zu untersuchende Funktion kann man sich aussuchen.

.. und vielleicht kannst du nun ja dem Rate-Team mitteilen, wie denn die
Gleichung der im Raum liegenden Ellipse nun "ausgesucht" und notiert werden könnte.. smile

25.07.2010, 19:46

Tarnfara

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Zitat:

Original von corvus
.. und vielleicht kannst du nun ja dem Rate-Team mitteilen, wie denn die
Gleichung der im Raum liegenden Ellipse nun "ausgesucht" und notiert werden könnte.. smile

Wie auch immer ich deine Aussage zu verstehen habe:

Ich würde mir nun die Ebene aussuchen, weil die nicht so viele Quadrate entält, daraus dann

$\begin{eqnarray*} z(x,y) = \frac{x}{2} - \frac{y}{4} + \frac{43}{32} \end{eqnarray*}$ machen und diese unter der Nebenbedingung

$\begin{eqnarray*} g(x,y) = x^2 + y^2 -9 = 0 \end{eqnarray*}$ auf Extrema untersuchen.

Dies gilt unter der stillschweigenden Voraussetzung, dass die Ebene nach z auflösbar ist.

Ich verstehe nicht, worauf du hinauswillst.

Grüße

25.07.2010, 20:49

flixe

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@corvus: seanbasti und ich bearbeiten die aufgabe grad zusammen.

thx für eure hilfe, aber es geht uns mittlerweile eigentlich nicht mehr um die extremwerte, die aufgabe ist gelöst.

aber wenn man das volumen dieses "häubchen" berechnen will, kann es sein, dass man dann einfach folgendes rechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_{z=0}^{Gleichung von Paraboloid} \! f(x) \, - \int_{z=0}^{Gleichung von Ebene} \! f(x) \, \end{eqnarray*}$ ?

also erst das integral bis zum paraboloid und davon das integral bis zur ebene einfach abziehen.

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