Konvergenz im quadratischen Mittel

23.07.2010, 21:25	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz im quadratischen Mittel Hallo Leute, ich habe eine Folge von Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ und eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Die Verteilungen sind alle Normalverteilt mit $\begin{eqnarray} X_n = \mathcal{N}(\mu_n,\sigma^2_n) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} X = \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} \mu_n \to \mu, \sigma_n \to \sigma \end{eqnarray}$ . Ich möchte jetzt untersuchen ob diese Folge von Zufallsvariablen im quadratischen Mittel gegen X konvergiert. Es ist also zu zeigen : $\begin{eqnarray} E[(X_n - X)^2] \to 0 \end{eqnarray}$ Die Frage ist eigentlich nur wie ich den Erwartungswert aufstellen. Wenn es eine gemeinsame Dichte $\begin{eqnarray} p(X_n,X) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} X_n,X \end{eqnarray}$ gibt, dann steht da zunächst : $\begin{eqnarray} E[(X_n - X)^2] = \int_\mathbb{R} \int_\mathbb{R} (x_n - x)^2p(x_n,x)dx_n dx \end{eqnarray}$ Das Problem ist die Dichte $\begin{eqnarray} p(x_n,x) \end{eqnarray}$ , man kann ja nicht einfach $\begin{eqnarray} p(x_n,x) = p(x_n)p(x) \end{eqnarray}$ setzen. Prinzipiell müsste man sich dafür genau die Dichte $\begin{eqnarray} p(X_n,X) \end{eqnarray}$ anschauen oder?
28.07.2010, 15:27	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz im quadratischen Mittel Edith: War unsinn was ich geschrieben habe. Ja, im Grunde kann man die Unabhängikeit oder Unkorreliertheit nicht vorraussetzen und muss über die gemeinsame Verteilung bzw. die Kovarianz argumentieren. Nochmaliger Edith: Kann humbug sein was ich mir da augemalt habe ... aber villeicht funktioniert es. Es gibt so einen Satz der besagt, dass wenn $\begin{eqnarray} (X_n)_{n \in \mathbb N} \in \mathcal L^p \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ konvergiert im p-ten Mittel gegen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ gleichgradig integrierbar sind und stochastisch gegen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ konvergiert. - Man weißt also zunächst die gleichgradige integrierbarkeit nach Dann wendet man die Markovungleichung an und erhält für $\begin{eqnarray} f=Id \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(\|X_n - X\| > \epsilon) \leq \frac{E(\|X_n - X\|)}{\epsilon} \end{eqnarray}$ Edith: Unsinn entfernt hust
28.07.2010, 16:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Voraussetzungen sagen nur etwas über die Einzelverteilungen der $\begin{eqnarray} (X_n) \end{eqnarray}$ aus, aber nichts über deren gemeinsame Verteilung - ja nicht einmal Korreliertheit - aus. Demzufolge kann man aus diesen Voraussetzungen nicht mal folgern, dass die Folge überhaupt konvergiert, dann macht auch die Frage nach der Grenzverteilung keinerlei Sinn. Selbst in dem einfachen Fall $\begin{eqnarray} \mu_n=0,\sigma_n=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gibt es im Fall der Unabhängigkeit aller $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ keinen "Grenzwert" $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Meines Erachtens macht die Aufgabe also nur umgekehrt einen Sinn: Du hast die Folge $\begin{eqnarray} (X_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X_n \sim \mathcal{N}(\mu_n,\sigma_n^2) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \mu_n\to \mu,\sigma_n\to\sigma \end{eqnarray}$ und weißt außerdem, dass es eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gibt, gegen die $\begin{eqnarray} (X_n) \end{eqnarray}$ (in einem noch zu spezifierenden Sinn) konvergiert. Dann kannst du nachweisen, dass $\begin{eqnarray} X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ gilt.
28.07.2010, 21:07	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne die gemeinsame Verteilung zu kennen wirds also nichts. Ich kenne die gemeinsame Verteilung der $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ (multivariat Normalverteilt). Hilft das weiter?
29.07.2010, 21:23	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach nochmaligem nachdenken: Solange man das verhältnis zwischen den $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nicht kennt wird es leider auch so nichts. Da kann man für jede Folge $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \mathcal N(\mu, \sigma^2) \end{eqnarray}$ -verteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ erzeugen für die nicht gilt, dass die $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ konvergieren. (Es seidenn Arthur hat recht und die Aufgabenstellung müsste Umformuliert werden ... dann kann man wieder was machen)

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