Frage zu Gram-Schmidt Verfahren

23.07.2010, 19:56

Fiddi

Frage zu Gram-Schmidt Verfahren

Meine Frage:
Ich soll mit dem Gram-Schmidt Verfahren eine ON-Basis bestimmen und habe folgende Vektoren:

$\begin{eqnarray*} v_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{2}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{3}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{4}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich wiederhole gerade das Gram-Schmidt Verfahren, wobei mir Artikel, von Wikipedia, etc. nicht helfen, weswegen ich meine Frage einfach mal hier poste:

da v1 orthogonal zu v2 ist, muss man beide nur noch normieren und erhält:

$\begin{eqnarray*} w_{1}= \frac{1}{\sqrt{2} } \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_{2}= \frac{1}{\sqrt{3} } \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit dem Gram-Schmidt Verfahren bekommt man für w3:

$\begin{eqnarray*} w_{3}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} -1\cdot \frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - 2\cdot\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1}{6} \\ \frac{-1}{6} \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und mit der zugehörigen Normierung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{6} } \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Klar, 1/2 erhält man durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{2} } \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ , ebenso 1/3.

ABER: Wie kommt man auf die -1 und die -2???

23.07.2010, 20:07

Felix

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Du projizierst (1,0,0,1)^T orhogonal auf den Orthogonalraum der Hülle deiner ersten beiden Vektoren. Wie sieht das denn formal angeschrieben aus?

23.07.2010, 20:18

Fiddi

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wäre in dem Fall:

$\begin{eqnarray*} w_{3}= v_{3} - <v_{3}, w_{1}> \cdot w_{1} - <v_{3}, w_{2}> \cdot w_{2} \end{eqnarray*}$

wobei <> das Skalarprodukt

ich weiß nicht, wie du es meinst, sorry...

23.07.2010, 20:22

Felix

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Na rechne doch mal aus was du da gerade formal hingeschrieben hast ...

23.07.2010, 20:47

Fiddi

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Das ist ja mein Problem, ich komme nicht auf das gleiche Ergebnis, ich würde nämlich rechnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} - <\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} > \frac{1}{\sqrt{2} }\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - < \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{3} } \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} > \frac{1}{\sqrt{3} } \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} w_{3}= \begin{pmatrix} 1\frac{1}{6} \\ \frac{-5}{6} \\ 0 \\ \frac{2}{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das stimmt ja nicht mit dem Ergebnis überein...

24.07.2010, 06:51

Felix

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Du hast da offensichtlich ein paar Abschreibfehler :

$\begin{eqnarray*} w_{2}= \frac{1}{\sqrt{3} } \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \neq \frac{1}{\sqrt{3} } \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} v_{3}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.07.2010, 11:16

Fiddi

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Okay, ich habe es nochmal versucht mit kleineren Schritten, wo ist hier jetzt wieder der Fehler drin? unglücklich

$\begin{eqnarray*} w_{3}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - <\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2} }\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} > \frac{1}{\sqrt{2} } \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - <\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{3} }\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} > \frac{1}{\sqrt{3} } \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_{3}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ \frac{-1}{\sqrt{2} } \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\sqrt{3} \\ 0 \\ 0 \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 0 \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ 0 \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} \frac{1}{6} \\ 0 \\ 0 \\\frac{4}{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.07.2010, 11:37

Fiddi

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Oh Sorry, jetzt hab ich es endlich geschnallt!

Danke für die Hilfe! Ich mache noch paar Übungsaufgaben zwecks Festigung des Stoffes und dann klappt das wohl auch smile

24.07.2010, 11:48

Tarnfara

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Zitat:

Original von Fiddi
Okay, ich habe es nochmal versucht mit kleineren Schritten, wo ist hier jetzt wieder der Fehler drin? unglücklich

$\begin{eqnarray*} w_{3}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ \frac{-1}{\sqrt{2} } \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\sqrt{3} \\ 0 \\ 0 \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 0 \\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

:-(
Das Skalarprodukt bildet von $\begin{eqnarray*} \mathbb K \to \mathbb K \end{eqnarray*}$ ab, das heißt insbesondere, dass NIEMALS ein Vektor herauskommt.

Ausserdem machst du dir das Leben unnötig schwer:

$\begin{eqnarray*} w_3 = v_3 -<v_3, w_2>w_2 - <v_3, w_1> w_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = v_3 - <v_3, \frac{1}{||v_2||}v_2> \frac{1}{||v_2||}v_2 - <v_3, \frac{1}{||v_1||}v_1> \frac{1}{||v_1||}v_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = v_3 - \frac{1}{||v_2||^2}<v_3, v_2>v_2 - \frac{1}{||v_1||^2}<v_3, v_1> v_1 \end{eqnarray*}$

Wobei für $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb K^n , x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix}, y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \cdots \\ y_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt, dass

$\begin{eqnarray*} <x,y> = \sum_{k=1}^n x_k y_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||x|| = \sqrt{<x,x>} = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2} \end{eqnarray*}$

Dies sind Standardskalarprodukt und Standardnorm auf euklidischen Vektorräumen ( $\begin{eqnarray*} \mathbb K \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$

Damit kürzen sich die lästigen Wurzeln raus und du bekommst exakt dieselbe Gleichung wie die, die in deiner Musterlösung steht.

Grüße

Edit: Schon wieder zu spät -.-

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