49. Mathematik-Olympiade |
24.07.2010, 08:47 | Itachiv2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
49. Mathematik-Olympiade Man untersuche, ob es ganze Zahlen x und y gibt, fÄur die 2010x^2-2009y^2=50 gibt mein ansatz x^2+2009(x^2-y^2)=50 2009(x^2-y^2)=50-x^2 (x^2-y^2)=(50-x^2)/2009 falls x und y ganze zahlen sind dann wäre die differenz auch eine ganze zahl demnach muss auf der rechte seite der gleichung auch eine ganze zahl durch die divison rauskommen also muss 2009 ein teiler von 50-x^2 sein dann gilt die ungleichung das 50-x^2>2009 sein muss was nicht erfüllbar ist stimmt das oder bin ich auf n holzweg |
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24.07.2010, 08:51 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: 49. Mathematik-Olympiade Auch wenn ich spontan nicht weiter weiß, 50-x^2 könnte auch -2009 ergeben (okay, könnte nicht, aber der punkt ist, dass es negativ ist), und dann wäre es durch 2009 teilbar und es käme eine ganze Zahl heraus. |
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24.07.2010, 09:08 | Itachiv2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
es gilt doch 2010x^2-2009y^2=50 also muss 2010x^2>2009y^2 x>0,99975y x>y (x^2-y^2)=(50-x^2)/2009 also ist die linke seite prositive |
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24.07.2010, 15:49 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau andersrum! Es ist . Sofort sieht man, dass für keine Lösung existiert, weil 50 keine Quadratzahl ist. Ist aber x>y, so ist die linke Seite größergleich 6027. Also muss für eine eventuelle Lösung gelten. |
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24.07.2010, 16:52 | Minus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nette Aufgabe, die einen kleinen Trick hat Welchen Rest lässt eine Quadratzahl bei der Teilbarkeit durch ? Eine andere Lösung wäre deutlich zeitaufwendiger. |
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24.07.2010, 16:55 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man muss ja nicht gleich alles verraten |
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24.07.2010, 17:21 | Minus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Soll ich editieren ? Wenn ja, wie ? Die Lösung ist ziemlich kurz, und ich wusste nicht, wie ich gleichzeitig wenig verraten soll und der Threadersteller verstehen wird, worauf ich hinaus will. Immerhin kann er nach meinem Tipp noch mitdenken. |
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24.07.2010, 17:25 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich ja auch nicht, deswegen habe ich erstmal gar kein Wort über die Lösung verloren Sondern nur das Irrtum aufgeklärt. |
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24.07.2010, 18:53 | Itachiv2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wird eine Quadratzahl durch 3 geteilt dann kann entweder kein rest kommen oder es ensteht ein rest 1/3 angenommen y^2=2010(x^2-y^2)+50 sei eine quadratzahl dann muss doch durch 3 ein rest mit 1/3 entstehen oder gar kein rest entsteht y^2/3=670(x^2-y^2)+50/3(16 zwei drittel ist) da wir wegen der aussage nur x und y als ganze zahlen suchen muss sich 670(x^2-y^2) mit 16 zwei drittel zu einer ganz zahl ergänzen was nicht geht oder zu einer belieben zahl mit 1/3 was auch nicht geht denn die differenz zwier ganzen zahlen ist wieder eine ganze zahl ist es so richtig? |
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24.07.2010, 19:35 | Minus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast das fast raus. Eine Quadratzahl lässt bei der Teilbarkeit durch entweder oder nur als Rest, was du richtig erkannt hast. ist eine Quadratzahl. Du hast richtig durch geteilt:
Das hast du etwas falsch verstanden. Du brauchst nicht ergänzen. Du must nur untersuchen welchen Rest , also bei der Teilbarkeit durch hinterlässt, und ob eine Quadratzahl diesen Rest auch hinterlassen kann. |
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24.07.2010, 20:00 | Itachiv2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke habs kapiert wie machste eig. die " schöne" schreibweise der Terme
wie biste eig so schnell darauf gekommen danke für deine tipps |
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24.07.2010, 20:14 | Minus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die "schöne Schreibweise" mache ich mit dem Formeleditor: http://www.matheboard.de/formeleditor.php Ich bin nicht so schnell darauf gekommen, wie du denkst. Ich habe den Term ca. 1 Stunde lang umgeformt (nach x², nach y² usw.) und kam auf nichts sinnvolles, außer dass x und y beide durch 5 teilbar sein müssen. Das führte zu nichts. Dann kam ich auf die Idee den Term auf diese Weise nach y² umzuformen und sah zufällig , dass 2010(x²-y²)+50 den Rest 2 bei der Teilbarkeit durch 3 hinterlässt, was aber bei einer Quadratzahl nicht geht. So gut bin ich auch nicht. Es gibt hier viele, die die Lösung sofort sehen, weil sie sehr viel Erfahrung haben. Je mehr Erfahrung man hat, desto schneller kommt man auf die Lösung. |
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