49. Mathematik-Olympiade

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Itachiv2 Auf diesen Beitrag antworten »
49. Mathematik-Olympiade
hallo hier eine aufgabe aus der mop (26.-28.02.2010)
Man untersuche, ob es ganze Zahlen x und y gibt, fÄur die
2010x^2-2009y^2=50
gibt

mein ansatz
x^2+2009(x^2-y^2)=50
2009(x^2-y^2)=50-x^2
(x^2-y^2)=(50-x^2)/2009
falls x und y ganze zahlen sind dann wäre die differenz auch eine ganze zahl
demnach muss auf der rechte seite der gleichung auch eine ganze zahl durch die divison rauskommen
also muss 2009 ein teiler von 50-x^2 sein
dann gilt die ungleichung das 50-x^2>2009 sein muss
was nicht erfüllbar ist verwirrt
stimmt das oder bin ich auf n holzweg
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 49. Mathematik-Olympiade
Auch wenn ich spontan nicht weiter weiß, 50-x^2 könnte auch -2009 ergeben (okay, könnte nicht, aber der punkt ist, dass es negativ ist), und dann wäre es durch 2009 teilbar und es käme eine ganze Zahl heraus.
 
 
Itachiv2 Auf diesen Beitrag antworten »

es gilt doch
2010x^2-2009y^2=50
also muss 2010x^2>2009y^2
x>0,99975y
x>y

(x^2-y^2)=(50-x^2)/2009
also ist die linke seite prositive verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau andersrum!

Es ist .

Sofort sieht man, dass für keine Lösung existiert, weil 50 keine Quadratzahl ist.

Ist aber x>y, so ist die linke Seite größergleich 6027.

Also muss für eine eventuelle Lösung gelten.
Minus Auf diesen Beitrag antworten »

Nette Aufgabe, die einen kleinen Trick hat Augenzwinkern





Welchen Rest lässt eine Quadratzahl bei der Teilbarkeit durch ?

Eine andere Lösung wäre deutlich zeitaufwendiger. Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Man muss ja nicht gleich alles verraten unglücklich
Minus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Man muss ja nicht gleich alles verraten unglücklich


Soll ich editieren ? Wenn ja, wie ? Die Lösung ist ziemlich kurz, und ich wusste nicht, wie ich gleichzeitig wenig verraten soll und der Threadersteller verstehen wird, worauf ich hinaus will. Immerhin kann er nach meinem Tipp noch mitdenken.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich ja auch nicht, deswegen habe ich erstmal gar kein Wort über die Lösung verloren Big Laugh Sondern nur das Irrtum aufgeklärt.
Itachiv2 Auf diesen Beitrag antworten »

wird eine Quadratzahl durch 3 geteilt dann kann entweder kein rest kommen oder es ensteht ein rest 1/3
angenommen y^2=2010(x^2-y^2)+50 sei eine quadratzahl dann muss doch durch 3 ein rest mit 1/3 entstehen oder gar kein rest entsteht
y^2/3=670(x^2-y^2)+50/3(16 zwei drittel ist)
da wir wegen der aussage nur x und y als ganze zahlen suchen
muss sich 670(x^2-y^2) mit 16 zwei drittel zu einer ganz zahl ergänzen
was nicht geht
oder zu einer belieben zahl mit 1/3 was auch nicht geht
denn die differenz zwier ganzen zahlen ist wieder eine ganze zahl
ist es so richtig?
Minus Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das fast raus.

Eine Quadratzahl lässt bei der Teilbarkeit durch entweder oder nur als Rest, was du richtig erkannt hast.

ist eine Quadratzahl. Du hast richtig durch geteilt:



Zitat:
muss sich 670(x^2-y^2) mit 16 zwei drittel zu einer ganz zahl ergänzen was nicht geht oder zu einer belieben zahl mit 1/3 was auch nicht geht


Das hast du etwas falsch verstanden. Du brauchst nicht ergänzen.

Du must nur untersuchen welchen Rest , also bei der Teilbarkeit durch hinterlässt, und ob eine Quadratzahl diesen Rest auch hinterlassen kann.
Itachiv2 Auf diesen Beitrag antworten »

danke habs kapiert
wie machste eig. die " schöne" schreibweise der Terme


Zitat:
Original von Minus
Nette Aufgabe, die einen kleinen Trick hat Augenzwinkern





Welchen Rest lässt eine Quadratzahl bei der Teilbarkeit durch ?

Eine andere Lösung wäre deutlich zeitaufwendiger. Augenzwinkern


wie biste eig so schnell darauf gekommen

danke für deine tipps Wink
Minus Auf diesen Beitrag antworten »

Die "schöne Schreibweise" mache ich mit dem Formeleditor:

http://www.matheboard.de/formeleditor.php

Ich bin nicht so schnell darauf gekommen, wie du denkst. Ich habe den Term ca. 1 Stunde lang umgeformt (nach x², nach y² usw.) und kam auf nichts sinnvolles, außer dass x und y beide durch 5 teilbar sein müssen. Das führte zu nichts. Dann kam ich auf die Idee den Term auf diese Weise nach y² umzuformen und sah zufällig Big Laugh , dass 2010(x²-y²)+50 den Rest 2 bei der Teilbarkeit durch 3 hinterlässt, was aber bei einer Quadratzahl nicht geht.

So gut bin ich auch nicht. Es gibt hier viele, die die Lösung sofort sehen, weil sie sehr viel Erfahrung haben. Je mehr Erfahrung man hat, desto schneller kommt man auf die Lösung. Augenzwinkern
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