Grenzwert alternierender Reihe

24.07.2010, 13:26

cartan

Grenzwert alternierender Reihe

Meine Frage:
Huhu,
Ich versuche gerade den Grenzwert folgender Reihe auszurechen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^n \frac{\left(\frac{\pi}{2} \right)^{2n}}{\left(2n\right)! } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als Summe aufgeschrieben sieht man dass wohl -1 der Grenzwert ist, aber das zu zeigen gelingt mir nicht. Die Reihe hat ja Ähnlichkeiten mit der alternierenden harmonischen Reihe und der Exponentialfunktion und ich denk mir das sollte ich irgendwie nutzen aber ich sehe nicht wie.

24.07.2010, 13:30

giles

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Bedenke, dass
$\begin{eqnarray*} \cos(x)=\sum_{n=0} ^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

24.07.2010, 13:31

Tarnfara

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RE: Grenzwert alternierender Reihe
Es erinnert dich an die Reihenentwicklung der e-Funktion.

Versuche doch mal zu ergänzen, was fehlt.

Bzw. schau nochmal genau nach, von welchen anderen wichtigen Funktionen ihr die Reihenentwicklungen behandelt habt ?

Grüße

edit: Zu langsam

24.07.2010, 13:33

Cel

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RE: Grenzwert alternierender Reihe

Zitat:

Original von cartan
Als Summe aufgeschrieben sieht man dass wohl -1 der Grenzwert ist ...

Jo. Kennst du noch nicht die Definition des Sinus und Cosinus, das kannst du hier nutzen.

Edit: Auch zu langsam ...

24.07.2010, 13:45

cartan

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Oh man