reelle zahlen kommutativ

24.07.2010, 15:32

Der Kommutator

reelle zahlen kommutativ

Meine Frage:
Die Definition eines Körpers ist allgemein bekannt. Ebenso die Behauptung, die reelen Zahlen bildeten einen Körper.
Beim Nachweis scheitere ich am Beweis der Kommutativität bezüglich der Multiplikation.

Meine Ideen:
Ich habe es, analog zum Beweis der Kommutativität der Addition, mit Hilfe des Distributivgesetztes versucht, dies war allerdings nicht von Erfolg gekrönt.

Hat jemand eine Idee?

24.07.2010, 15:34

Leopold

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Ohne weiteren Kontext kann man diese Frage nicht beantworten.
Ihr scheint in irgendeiner Weise die reellen Zahlen definiert zu haben. Aber wie? Denn dafür gibt es zig isomorphe Möglichkeiten.

24.07.2010, 16:13

Der Kommutator

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=-\infty}^\infty a_{i} \cdot 10^{i} \end{eqnarray*}$

24.07.2010, 16:29

Der Kommutator

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$\begin{eqnarray*} a_{i} \in \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} \end{eqnarray*}$

24.07.2010, 17:10

gonnabphd

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$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{i = -\infty}^\infty a_i\cdot 10^i \right) \cdot \left( \sum_{i = -\infty}^\infty b_i \cdot 10^i \right) = \sum_{i = -\infty}^\infty \left( \sum_{k = - \infty }^\infty a_{i+k} \cdot b_{i-k} \right) \cdot 10^i \end{eqnarray*}$

25.07.2010, 11:10

Elvis

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@Kommutator
Das ist eine merkwürdige Definition von reellen Zahlen, die unendlich große Zahlen enthält, aber keine negativen...
... besser wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb R = \{ \pm \sum_{i=-n}^{\infty}a_i \cdot 10^{-i}\} \end{eqnarray*}$ , mit der üblichen Definition von $\begin{eqnarray*} n,a_i \end{eqnarray*}$

@gonnabphd
Dein Cauchyprodukt ist von der Idee her brauchbar, aber technisch ein kleines bißchen mißlungen, da die Indices nicht wie üblich zu i sondern zu 2i summieren.
Auch bei dieser Definition der Multiplikation treten mir zu viele $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ 's auf.

25.07.2010, 15:27

Gastmathematiker

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Das ist auch keine Definition der reellen Zahlen, nur eine Weise wie diese dargestellt werden können.

25.07.2010, 21:19

Der Kommutator

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@Elvis: Ja, Vorzeichen habe ich schlichtweg vergessen.

@gonnabphd: Danke. Als Nicht-Mathematiker, der sich ein wenig interessiert, 2 Fragen:

1. Hast Du innerhalb der Doppelsumme die multiplikative Kommutativität der rationalen Zahlen ausgenutzt? Sonst könnte man die Zehnerpotenzen IMHO nicht zusammenfassen?!

2. Kann man die 2 im Exponenten der Zehnerpotenzen, wegen der unendlichen Summe, ignorieren, d.h. da sowieso die Summation über alle ganzen i läuft? Sonst würde ich das Weglassen nicht verstehen.

25.07.2010, 21:59

gonnabphd

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Ahh, da hab' ich einen Fehler gemacht, wie ihr richtig angemerkt habt.

Dann wohl so:

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{i = -\infty}^\infty a_i\cdot 10^i \right) \cdot \left( \sum_{i = -\infty}^\infty b_i \cdot 10^i \right) = \sum_{i = -\infty}^\infty \left( \sum_{k = - \infty }^\infty a_{k} \cdot b_{i-k} \right) \cdot 10^i \end{eqnarray*}$

Zitat:

1. Hast Du innerhalb der Doppelsumme die multiplikative Kommutativität der rationalen Zahlen ausgenutzt? Sonst könnte man die Zehnerpotenzen IMHO nicht zusammenfassen?!

Ich denke nicht (?). Bisher wurde doch erst ausmultipliziert und zusammengefasst (ich hoffe, ich täusche mich nicht schon wieder). Die Kommutativität käme m.E. nun ins Spiel, um zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{i = -\infty}^\infty a_i\cdot 10^i \right) \cdot \left( \sum_{i = -\infty}^\infty b_i \cdot 10^i \right) =\left( \sum_{i = -\infty}^\infty b_i\cdot 10^i \right) \cdot \left( \sum_{i = -\infty}^\infty a_i \cdot 10^i \right) \end{eqnarray*}$

Edit: Ich merke grad, dass ich benutzt habe, dass $\begin{eqnarray*} a_i \cdot 10^i \cdot b_k \cdot 10^k = a_ib_k10^{i+k} \end{eqnarray*}$ . Das stimmt natürlich, daran hatte ich gar nicht gedacht.

Wink

27.07.2010, 18:21

Elvis

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Besser so:
$\begin{eqnarray*} \left( \pm \sum_{i = -n_a}^\infty a_i\cdot 10^{-i} \right) \cdot \left( \pm \sum_{i = -n_b}^\infty b_i \cdot 10^{-i }\right) = \pm \sum_{i = - max(n_a,n_b)}^\infty \left( \sum_{l +k=i} a_{l} \cdot b_{k} \right) \cdot 10^{-i} \end{eqnarray*}$

Wenn die Multiplikation der so definierten reellen Zahlen über das Cauchyprodukt definiert wird, muss man diese Kommutativität der inneren (endlichen) Summen nicht voraussetzen, sondern man kennt sie als Kommutativität rationaler Zahlen. Ohne rationale Zahlen lassen sich reelle Zahlen nicht definieren, oder kennt jemand eine Möglichkeit ?

27.07.2010, 19:31

system-agent

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Zitat:

Original von Elvis
Ohne rationale Zahlen lassen sich reelle Zahlen nicht definieren, oder kennt jemand eine Möglichkeit ?

Wenn ich mich nicht täusche, dann ist hier eine beschrieben.

27.07.2010, 20:00

Elvis

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Danke, ich lasse mich gern eines besseren belehren, das sieht interessant aus.

27.07.2010, 20:15

gonnabphd

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Zitat:

Original von Elvis
Besser so:
$\begin{eqnarray*} \left( \pm \sum_{i = -n_a}^\infty a_i\cdot 10^{-i} \right) \cdot \left( \pm \sum_{i = -n_b}^\infty b_i \cdot 10^{-i }\right) = \pm \sum_{i = - max(n_a,n_b)}^\infty \left( \sum_{l +k=i} a_{l} \cdot b_{k} \right) \cdot 10^{-i} \end{eqnarray*}$

Ist doch egal, solange fast alle $\begin{eqnarray*} a_i, \, b_i \text{ mit } i>0 \end{eqnarray*}$ gleich null sind. Falsch ist es natürlich nicht...

28.07.2010, 18:23

Elvis

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... falsch ist es nur dann, wenn man diese einschränkende Bedingung nicht erwähnt.

28.07.2010, 19:42

gonnabphd

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Ja, ich schätze mal Geschmackssache. Ich finde die zweite Variante besser, weil man da nicht auf diese störenden Summationsindices achten muss. Augenzwinkern

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reelle zahlen kommutativ

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