Partielle Ableitung

24.07.2010, 17:44

Dalice66

Partielle Ableitung

Hi Leute,

ich soll ein Taylorpolynom 2ten Grades aufstellen. Die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f_{(x,y)}=\sqrt[3]{2x+3y} -ln\left(\frac{xy}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Die Wurzel abzuleiten ist nicht das Problem, bloß wie sieht die innere Ableitung vom ln aus?

Oberflächlich betrachtet müsste ich die innere Ableitung, nachdem jeweils einmal y oder einmal x wegflog, je nachdem, mit der Quorientenregel bearbeiten.

24.07.2010, 18:08

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Quotientenregel brauchst du nicht. Einmal ist die innere Ableitung x/2 und das andere Mal y/2.

24.07.2010, 22:22

Dalice66

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

dann sehen die Ableitungen folgendermaßen aus...

$\begin{eqnarray*} f_x=\frac{2}{3}( 2x+3y)^{-\frac{2}{3}} -\frac{2}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y=(2x+3y)^{-\frac{2}{3}} -\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

24.07.2010, 22:30

DanielWolf

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich das erkennen kann, sind da mehrere Fehler:
Was ist die Ableitung von x^n?
Das ist n*x^(n-1) !
Was bedeutet das für die (äußere) Ableitung von (2x+3y)^(2/3) ?

24.07.2010, 23:46

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von NachhilfeDanielWolf
Was bedeutet das für die (äußere) Ableitung von (2x+3y)^(2/3) ?

Wo soll das denn nun hinführen? Da steht einfach eine dritte Wurzel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2x+3y} = (2x+3y)^{\frac 1 3} \end{eqnarray*}$

Das hat Dalice wohl richtig gemacht. Allerdings stecken in dem Term mit dem ln noch Fehler. Das kann man sich auch allein schon anhand der Logarithmengesetze erklären:

$\begin{eqnarray*} \ln \left ( \frac{xy}{2} \right ) = \ln(x) + \ln(y) + \ln \left ( \frac{1}{2} \right ) \end{eqnarray*}$

Was ergibt sich beim Ableiten nach diesen Umformungen? Da also vielleicht nochmal gründlicher nachrechnen. Generell sollte die Ableitung des ln doch vertraut sein:

$\begin{eqnarray*} \left ( \ln(f(x)) \right )' = \frac{f'(x)}{f(x)} \end{eqnarray*}$

25.07.2010, 04:56

Dalice66

Auf diesen Beitrag antworten »

Joo,

ln ableiten ist bekannt. 1 durch den gesamten Term, der in der Klammer im ln steht, mal innere Ableitung...

$\begin{eqnarray*} ...-ln\left(\frac{xy}{2} \right) =-\frac{1}{\frac{xy}{2} } *\frac{y}{2} \end{eqnarray*}$

(für Ableitung von x)

25.07.2010, 11:35

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, und jetzt kürzt sich ja noch einiges weg? Mit Mulders Tipp geht es sogar noch schneller und führt natürlich auf das gleiche.

25.07.2010, 12:03

Dalice66

Auf diesen Beitrag antworten »

Prima,

nach allem Kürzen und Zusammenfassen komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} x+2y-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Danke an alle...

Edit...Da hat sich ein Fehler eingeschlichen. Ich hatte meine Potenz vergessen. Somit stimmt das Ergebnis nicht. Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} (2x+3y)^{-\frac{2}{3} }-\frac{1}{x}=f_x \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Partielle Ableitung

Verwandte Themen