Olympiadeaufgabe 2001 (Quadratische Gleichung + Ungleichung)

24.07.2010, 17:57	Minus	Auf diesen Beitrag antworten »
Olympiadeaufgabe 2001 (Quadratische Gleichung + Ungleichung) Es handelt sich um eine alte Olympiadenaufgabe aus dem Jahre $\begin{eqnarray} 2001 \end{eqnarray}$ , Landesrunde , Klassenstufe $\begin{eqnarray} 11-13 \end{eqnarray}$ Ich möchte wissen, ob meine Lösung keine Fehler enthält, und ob sie richtig ist. $\begin{eqnarray} 401332 \end{eqnarray}$ Es sei $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ eine reelle Zahl. Man beweise, dass für die Lösungen $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray} x²+4ax+a²=1 \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} x_{1}^4+x_{2}^4 \geq 2 \end{eqnarray}$ gilt. Statt von $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ schreibe ich für die Nullstellen $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ (das spart Zeit). $\begin{eqnarray} x²+4ax+a²-1=0 \end{eqnarray}$ nach dem Satz von Vieta gilt: $\begin{eqnarray} a²-1=cd \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -4a=c+d \end{eqnarray}$ Zu beweisen ist, dass $\begin{eqnarray} c^4+d^4 \geq 2 \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} (c+d)^4-(4c³d+6c²d²+4cd³)=c^4+d^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (c+d)^4-(2cd(2c²+3cd+2d²))=c^4+d^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (c+d)^4-(2cd((c+d)²+(c+d)²-cd))=c^4+d^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-4a)^4-(2a²-2((-4a)²+(-4a)²-a²+1))=c^4+d^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 256a^4-((2a²-2)(31a²-1))=196a^4+64a²+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c^4+d^4=196a^4+64a^2+2 \end{eqnarray}$ Jetzt muss man nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ Minimum ist. Ist das richtig so? Kann man die Gleichung noch schneller beweisen mit einem anderen Ansatz?
24.07.2010, 19:01	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann es auch so lösen: Es ist $\begin{eqnarray} c^2d^2=(a^2-1)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (c+d)^2=16a^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (c-d)^2=4(3a^2+1) \end{eqnarray}$ (Warum?) Dann folgt direkt $\begin{eqnarray} c^4+d^4=(c^2-d^2)^2+2c^2d^2=(c-d)^2(c+d)^2+2c^2d^2 = ... \geq 2 \end{eqnarray}$
24.07.2010, 19:42	Minus	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, aber meine Lösung finde ich auch schön. $\begin{eqnarray} (c-d)²=4(3a²+1) \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} (c-d)²=(c+d)²-4cd \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} = 12a²+4 \end{eqnarray}$

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