Gleichungssystem

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Gleichungssystem
( Matheolympiade , Landesrunde, te Aufgabe.)

Man soll alle tripel ganzer Zahlen bestimmen, die das Gleichungssystem

(1)

(2)

erfüllen.

Mein erster Ansatz wäre (1) nach umzuformen und zu quadrieren, damit rauskommt. Dieses aus (1) wollte ich in (2) reinsetzen , damit gefällt und dann zu faktorisieren. Das habe ich nicht geschafft.

Gibt es einen anderen Ansatz ? Wenn ja, welchen ? Oder habe ich bei meinem etwas falsch gemacht ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde zunächst mal die Fälle betrachten, bei denen jeweils eine Unbekannte 0 ist. Natürlich reicht es hier x=0 und y=0 zu betrachten, weil die Gleichungen symmetrisch in z und y sind.
Minus Auf diesen Beitrag antworten »

bei x=0 gibt es keine Lösungen.

bei y=0 und z=0 gibt es insgesamt 3 Lösungen. (-1, 0,-1) (0,0,0) (-1,-1,0).

Sind es die einzigen Lösungen. Wenn ja, wie beweist man es ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es gibt noch 2 weitere Lösungen.

Berechne mal

(1) und (2) stehen hier natürlich für die jeweiligen Gleichungen.
Minus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Berechne mal


Muss ich für (1) einsetzen ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Zur Kontrolle: Wenn du das gemacht hast und ein bisschen weiterrechnest, solltest du darauf kommen, dass gilt. Womit eine Variable elegant eliminiert wurde Augenzwinkern
 
 
Minus Auf diesen Beitrag antworten »







oder

Den Fall habe ich schon untersucht.

ergibt





Wie geht man jetzt weiter vor? Ich sehe wieder keine Faktorisierung.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt

.

Wenn einem wirklich gar nichts einfällt, betrachtet man das mal als quadratische Gleichung in y und berechnet die Diskriminante (in Abhängigkeit von z). Dann schaut man für welche z, diese überhaupt nichtnegativ ist.
Minus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe den letzten Ausdruck nicht ganz. unglücklich

Umgeformt nach habe ich:





Heißt das jetzt, dass ich die pq-Formel benutzen soll und für , einsetzen muss und dann schauen wenn der Radikand nicht negativ ist ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Minus
Heißt das jetzt, dass ich die pq-Formel benutzen soll


Ja. Aber du musst dich für eine Unbekannte als Variable entscheiden.

D.h. nehme z als Konstante an und bringe die Gleichung dann in die Normalform einer quadratischen Gleichung in y.

D.h. in die Form .

p und q hängen dann natürlich von z ab.
Minus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß selbst nicht mehr genau, was ich mache.

So weit bin ich gekommen:






Es gibt nur dann Lösungen, wenn nicht negativ ist.





Also bedeutet das, dass dass es keine Lösungen gibt, wenn ist.

Wenn man es mit multipliziert, weil auf der linken Seite stand, dann dreht sich die Parabel um.

Habe ich es richtig gemacht ? Und was kann ich damit jetzt anfangen ? verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Minus
Ich weiß selbst nicht mehr genau, was ich mache.

So weit bin ich gekommen:








Du willst mir doch nicht erzählen, dass du keine quadratischen Gleichungen lösen kannst verwirrt

Was soll denn das -z^2 auf der linken Seite? Das ist doch eine ganz normaler Konstante, muss also auch rüber und zählt dann zum absoluten Glied.
Minus Auf diesen Beitrag antworten »

Omg geschockt

Ich war so verwirrt, dass ich vergessen habe, dass auf der einen Seite immer 0 stehen muss, damit man die PQ-Formel anwenden kann. Zum Glück sieht mein Mathelehrer es nicht. Das ist schockierend unglücklich

Heute abend werde ich versuchen die Gleichung zu lösen, im Moment habe ich leider keine Zeit dafür.
Minus Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich es richtig gemacht und fand heraus, dass y nur, oder , oder sein kann.

Die Lösungen habe ich schon genannt.

Jetzt muss man überprüfen welchen Wert z annimmt, wenn y=-2 ist.







Nach dem Satz von Vieta sieht man schnell , dass es 2 ganzzahlige Lösungen gibt:
und





(hat ganzzahlige Nullstellen, bei und . Die Letzte brauchen wir aber nicht.

Somit erfüllen folgende Tripel die Gleichung:
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Freude
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