Geburtstage an wie vielen Wochentagen

25.07.2010, 18:07

lisa 123

Geburtstage an wie vielen Wochentagen

Mit folgender Aufgabe komme ich nicht weiter.

Nehmen wir an, dass die Wochentage an denen Menschen geboren sind gleichverteilt sind. Wir befragen 7 zufällig ausgewählte Personen nach dem Wochentag an dem sie geboren sind (notfalls berechnen wir diesen).

X sei dann die Anzahl der verschiedenen Wochentag, die wir zur Antwort erhalten. Also etwa auf die Antworten "MO, MO, MO, ...., MO) erhalten wir X=1.

Berechnen Sie die Verteilung und den Erwartungswert von X

Mein eigenen Ideen

Die Anzahl aller möglichen Antworten ist 7 hoch 7.

N(X=1) = 7 (Anzahl der möglichen Antworten mit genau einem Wochentag)

N(X=7) = 7! = 5040

N(X=2) und N(X=6) kann ich daraus noch ableiten

N(X=6) = (7 über 1) * (7 - 1) * 7! / 2! = 105.840

N(X=2) = (7 über 2) * ( 7! / (6!*1!) + 7! / (5!*2!) + ... + 7! / (1!*6!) ) = 2.856

Bei X=3, X=4 und X=5 wird die Sache aber irgendwie sehr kompliziert. unglücklich

Kann mir jemand einen Tip geben, wie ich das berechnen kann?

25.07.2010, 19:25

Cube1983

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Ich glaube du hast da was an der Aufgabe missverstanden...

Der Erwartungswert is definiert als $\begin{eqnarray*} E(x)=\sum_{i=1}^nx_iP(X=x_i) \end{eqnarray*}$
Du summierst so über die Wahrscheinlichkeit des Wertes...

Somit solltest du als erstes die Wahrscheinlichkeiten zu jedem X ausrechnen...
X=1
X=2
...

Tipp: Du hast hier den Fall des mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge...
Damit sollte es klar sein wie du auf die Wahrscheinlichkeit kommst.

25.07.2010, 19:30

wisili

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Die analoge Aufgabe (mit 6 Würfelzahlen statt 7 Wochentagen) wird hier behandelt.

25.07.2010, 19:42

Leopold

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Schau dir einmal diesen Strang an, insbesondere diesen Beitrag. Du kannst dann hier entsprechend vorgehen.

Ich führe das einmal am Beispiel $\begin{eqnarray*} X=3 \end{eqnarray*}$ durch.

1. Bestimme alle Möglichkeiten, 7 als Summand von 3 positiven ganzen Zahlen zu schreiben:

$\begin{eqnarray*} 5+1+1 \, , \ \ 4+2+1 \, , \ \ 3+3+1 \, , \ \ 3+2+2 \end{eqnarray*}$

2. Bestimme für jede Summe das Septupel $\begin{eqnarray*} \left( k_1,\ldots, k_7 \right) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k_j \end{eqnarray*}$ zähle, wie oft der Summand $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ vorkommt. In der entsprechenden Reihenfolge wie bei 1. wären das hier

$\begin{eqnarray*} \left( 2,0,0,0,1,0,0 \right) \, , \ \ \left( 1,1,0,1,0,0,0 \right) \, , \ \ \left( 1,0,2,0,0,0,0 \right) \, , \ \ \left( 0,2,1,0,0,0,0 \right) \end{eqnarray*}$

3. Für jedes dieser Septupel berechne

$\begin{eqnarray*} \frac{7!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_7! \cdot \left( 7 - \left( k_1 + k_2 + \ldots + k_7 \right) \right)!} \, \cdot \, \frac{7!}{\left( 1! \right)^{k_1} \cdot \left( 2! \right)^{k_2} \cdots \left( 7! \right)^{k_7}} \end{eqnarray*}$

und addiere die Werte. So bekommst du die Anzahl der Ausgänge mit $\begin{eqnarray*} X=3 \end{eqnarray*}$ .

26.07.2010, 09:04

lisa 123

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wow! Auf diese Lösung wäre ich nie im Leben gekommen. Vielen Dank!

Das von dir beschriebene allgemeine Verfahren muss ich mir jetzt mal in Ruhe ansehen!

26.07.2010, 11:23

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Zitat:

Original von wisili
Die analoge Aufgabe (mit 6 Würfelzahlen statt 7 Wochentagen) wird hier behandelt.

D.h. also $\begin{eqnarray*} n=7 \end{eqnarray*}$ .

Und natürlich mit $\begin{eqnarray*} N=7 \end{eqnarray*}$ Personen (anstelle der 6 Würfe).

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