Ungleichung

25.07.2010, 20:28

Minus

Ungleichung

Es handelt sich um eine Aufgabe aus der Matheolympiade, aus dem Jahre 1993. Regionalrunde, Klassenstufe 11-12, Zweite Aufgabe:

321222

Man soll beweisen, dass für alle positiven Zahlen n die Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1*3*5*...*2n-1}{2*4*6*...*2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}} \end{eqnarray*}$

gilt.

Der linke Nenner lässt sich zu $\begin{eqnarray*} 2^n*n! \end{eqnarray*}$ zusammenfassen. Weiter komme ich nicht. Spielt die 1 in dem Nenner Recht eine bestimmte Rolle ?

25.07.2010, 20:45

tmo

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Hast du es schon mit Induktion versucht?

25.07.2010, 20:46

Minus

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Nein. Ich weiß nicht genau, wie das mit Induktion geht, aber ich werde es versuchen.

25.07.2010, 20:54

Minus

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Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Das ist schon mal richtig.

Muss jetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1*3*5*...*2n-1*2n+1}{2*4*6*...*2n*2n+2}<\frac{1}{\sqrt{2(n+1)+1}} \end{eqnarray*}$

bewiesen werden ? Hier komme ich wieder nicht weiter.

25.07.2010, 20:59

tmo

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Du darfst aber doch die Induktionsvorraussetzung verwenden. Wie lautet die?

Edit: Es geht noch viel elleganter. Willst du die Induktion erst fertig machen oder wollen wir direkt zur schöneren Lösung übergehen?

25.07.2010, 21:13

Minus

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$\begin{eqnarray*} \frac{1*3*5*...*2n-1}{2*4*6*...*2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}} \end{eqnarray*}$ ist die Vorraussetzung.

Zuerst will ich die Induktion üben, danach will ich die elegantere Lösung erfahren.

25.07.2010, 21:16

tmo

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Genau. Was würdest du jetzt mit dieser Vorraussetzung tun, um auf das zu zeigende zu kommen?

25.07.2010, 21:20

Minus

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Linke Seite mit $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ multiplizieren ? Und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite durch $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ersetzen, sodass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2n+3}} \end{eqnarray*}$ rauskommt.

Ich bezweifele aber, dass es richtig ist.

25.07.2010, 21:23

tmo

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Zitat:

Original von Minus
Linke Seite mit $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ multiplizieren ?

Genau

Zitat:

Original von Minus
Und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite durch $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ersetzen, sodass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2n+3}} \end{eqnarray*}$ rauskommt.

Naja einfach n durch n+1 ersetzen, darf man ja nicht. Das lassen wir schön bleiben.

Aber wir erhalten dann
$\begin{eqnarray*} \frac{1 \cdot 3 \dotsb (2n+1)}{2 \cdot 4 \dotsb (2n+2)} < \frac{2n+1}{2n+2} \frac{1}{\sqrt{2n+1}} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt liegt doch nichts näher als einfach noch
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{2n+2} \frac{1}{\sqrt{2n+1}} < \frac{1}{\sqrt{2n+3}} \end{eqnarray*}$
zu zeigen, womit man fertig wäre.

25.07.2010, 21:29

Minus

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So geht das ^^ Die Induktion finde ich etwas merkwürdig.

Wie geht die elegantere Variante ?

25.07.2010, 21:36

tmo

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Es ist doch zweifelsohne stets

$\begin{eqnarray*} \frac{2k-1}{2k} < \frac{2k}{2k+1} \end{eqnarray*}$

Nun multiplizieren wir von k=1 bis n und erhalten
$\begin{eqnarray*} \frac{1 \cdot 3 \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot (2n)} < \frac{2 \cdot 4 \cdot (2n)}{3 \cdot 5 \cdot (2n+1)} \end{eqnarray*}$ .

Ich wage zu behaupten, das ist fast schon das, was zu zeigen war.

25.07.2010, 21:42

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Zitat:

Original von tmo
Nun multiplizieren wir von k=1 bis n

Genau betrachtet macht man bei der Induktion auch nichts anderes. Augenzwinkern

P.S.: Tatsächlich kann man sogar das stärkere

$\begin{eqnarray*} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (2n)} < \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \end{eqnarray*}$

beweisen (Wallissches Produkt), zwar nicht mit so einfachen Mitteln wie hier - aber immer noch relativ leicht.

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