Komplexe Zahl

26.07.2010, 15:03

Heinz-Dieter

Komplexe Zahl

Meine Frage:
Hallo,
ich befinde mich in der Wiederholung für eine wichtige Klausur, dabei bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Berechnen Sie alle komplexen Zahlen mit z^3 = -8 und skizzieren Sie ihre Lösungen in ein Koordinatensystem

Meine Ideen:
Einen Ansatz habe ich, dass man die -8 erst in Polardarstellung bringen soll.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

26.07.2010, 15:10

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahl
Wenn du etwas wiederholst, dann hast du sicherlich ein Script oder ein Buch oder ähnliches. Und da sollte das ausführlich beschrieben sein. Zur Not kann man auch auf Wiki nachschauen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Exponentialform

Etwas mehr Eigeninitiative würde ich schon für angebracht halten.

26.07.2010, 15:13

Booker81

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RE: Komplexe Zahl
Der Ansatz ist sehr gut...

$\begin{eqnarray*} -8 = 8\cdot (-1)^{3} \end{eqnarray*}$ , jetzt noch die e-Schribweise für -1 einstzen und du bist fast am Ziel.

26.07.2010, 15:28

Heinz-Dieter

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also ich kämpfe mich sowohl durch das Skript als durch Herrn Papula, und auch der wikipediaeintrag hilft mir nicht sonderlich...

Tut mir leid wenn es so rüberkommt als würde ich keine Initiative zeigen, aber komplexe zahlen sind nahezu neuland für mich und hier komm ich nicht weiter...

26.07.2010, 15:53

klarsoweit

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Also keine Wiederholung (wie es sich zuerst anhörte), sondern eher ein Neulernen.

Als erstes mußt du die -8 in die Exponentialform bringen. Dann machst du für z den Ansatz $\begin{eqnarray*} z = |z| \cdot e^{i \cdot \phi} \end{eqnarray*}$ . Setze das dann in z³ = -8 ein.

26.07.2010, 16:07

Heinz-Dieter

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also ich bitte das zu entschuldigen, aber ich verstehe bereits nicht wie ich die " reele Zahl" -8 in einer für mich nur für komplexe Zahlen gebräuchliche Schreibweise bringen soll....

26.07.2010, 17:14

mYthos

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Die reellen Zahlen bilden eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Insoferne kann jede reelle Zahl a auch als komplexe Zahl z geschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} z = a + 0 \cdot i \end{eqnarray*}$

In der Gauß'schen Zahlenebene kommt dieser Zahl also ebenso ein Betrag und ein Winkel zu.

mY+

26.07.2010, 17:18

corvus

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Zitat:

Original von Heinz-Dieter
aber ich verstehe bereits nicht wie ich die " reele verwirrt

Zahl" -8
in einer für mich nur für komplexe Zahlen gebräuchliche Schreibweise bringen soll....

mach dir doch einfach mal klar:
komplexe Zahlen z sind geordnete Paare reeller Zahlen z=(x,y)
(du kennst bestimmt auch die Normalform-Darstellung z=x + i*y
wobei x und y reell und i=(0,1))

Veranschaulichen kannst du diese Zahlen als Punkte in der Gauss-Ebene;
die reellen Zahlen sind da als Teilmenge dabei als die Punkte auf der reellen Achse :

so hat zB die (reelle) Zahl a=-8 die Darstellung a=(-8 , 0)
sie hat den Betrag +8 und das Argument 180°+k*360° oder pi+k*2pi
(das ist der Winkel zur positiven reellen Achse)

wenn du Zahlen z suchst, die die Gleichung z^3= - 8 erfüllen,
wirst du also die 3 Lösungen berechnen von

$\begin{eqnarray*} z^3 = | z |^3\cdot e^{i\cdot 3\cdot \phi} = 8\cdot e^{\pi +k\cdot 2\pi } \end{eqnarray*}$

26.07.2010, 17:43

Heinz-Dieter

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herzlichen dank! ich denke ich habs kapiert!

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