Gleichung für Wendepunkte einer Funktionsschar

15.06.2004, 15:02

Mathespezialschüler

Gleichung für Wendepunkte einer Funktionsschar

Hi, hab da ein Problem mit folgender Aufgabe:

Gegeben ist eine Funktionsschar durch

$\begin{align*} f_k(x)\ =\ \frac{x^3\ +\ 3kx^2\ -\ 4k^3}{x} \end{align*}$

Berechnen sie die Koordinaten der Wendepunkte der Graphen von $\begin{align*} f_k \end{align*}$ . Ermitteln Sie eine Gleichung derjenigen Funktion, auf deren Graph alle Wendepunkte der Graphen von $\begin{align*} f_k \end{align*}$ liegen.

Also als Wendepunkte hab ich raus:

$\begin{align*} P_W(\sqrt[3]{4}\ \cdot\ k\ |\ 3\ \cdot\ \sqrt[3]{4}\ \cdot\ k^2) \end{align*}$

Das stimmt nach Lösungszettel auch. Dann haben wir

$\begin{align*} x\ =\ \sqrt[3]{4}\ \cdot\ k\ \end{align*}$

$\begin{align*} k\ =\ \frac{x}{\sqrt[3]{4}} \end{align*}$

$\begin{align*} y\ =\ 3\ \cdot\ \sqrt[3]{4}\ \cdot\ \frac{x^2}{(\sqrt[3]{4})^2}\ =\ \frac{3}{\sqrt[3]{4}}\ \cdot\ x^2 \end{align*}$

Das stimmt auch, aber ich denke, dass ist schon die gesuchte Gleichung. Die Lösung gibt aber dann als Gleichung an:

$\begin{align*} y\ =\ -\ \frac{3}{\sqrt[3]{4}}\ \cdot\ x^2\ -\ \frac{3}{2}\ \cdot\ \sqrt[3]{2}\ \cdot\ x^2 \end{align*}$

Warum ist denn nicht schon die erste Gleichung richtig??? verwirrt

15.06.2004, 16:14

Poff

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RE: Gleichung für Wendepunkte einer Funktionsschar
... hmm

weil entweder deine Wendepunkte falsch sind, oder aber die
2. Gleichung falsch ist :-oo

verwirrt

15.06.2004, 16:24

Mathespezialschüler

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RE: Gleichung für Wendepunkte einer Funktionsschar
Is beides richtig! Steht alles auch so auf dem Lösungszettel! Ich stell mal die Reihenfolge auf dem Lösungszettel dar:

Zitat:

Koordinaten der Wendepunkte: $\begin{align*} P_W(\sqrt[3]{4}\ \cdot\ k\ ;\ 3\ \cdot\ \sqrt[3]{4}\ \cdot\ k^2)\ \ \ \ \ k\ =\ \frac{x_W}{\sqrt[3]{4}} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow\ \ \ \ y_W\ =\ 3\ \cdot\ \sqrt[3]{4}\ \cdot\ \frac{x_W^2}{(\sqrt[3]{4})^2} \end{align*}$

$\begin{align*} \ \ \ \ \ \ \ y_W\ =\ \frac{3}{\sqrt[3]{4}}\ \cdot\ x_W^2 \end{align*}$

Gleichung der Kurve: $\begin{align*} \ y\ =\ -\ \frac{3}{\sqrt[3]{4}}\ \cdot\ x^2\ -\ \frac{3}{2}\ \cdot\ \sqrt[3]{2}\ \cdot\ x^2 \end{align*}$

Also ich weiß wirklich nich, warum das so sein soll!! verwirrt

15.06.2004, 16:31

Poff

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RE: Gleichung für Wendepunkte einer Funktionsschar
... setz doch mal 'den' Wendepunkt in die 2. Gleichung ein,
dann wirst du sehen was passiert ...

smile

15.06.2004, 23:36

Mathespezialschüler

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RE: Gleichung für Wendepunkte einer Funktionsschar
Also, du meinst, ich soll die Korrdinaten der Wendepunkte in die angegebene Lösung einsetzen??! verwirrt

Dann kommt da folgendes raus:

$\begin{align*} (3\ \cdot\ \sqrt[3]{4}\ \cdot\ k^2)\ =\ -\ \frac{3}{\sqrt[3]{4}}\ \cdot\ (\sqrt[3]{4}\ \cdot\ k)^2\ -\ \frac{3}{2}\ \cdot\ \sqrt[3]{2}\ \cdot\ (\sqrt[3]{4}\ \cdot\ k) ^2 \end{align*}$

Und jetzt? verwirrt

Muss die erste Gleichung nicht auch richtig sein?? verwirrt

16.06.2004, 00:05

Poff

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RE: Gleichung für Wendepunkte einer Funktionsschar
... das ist aber doch falsch, ist doch ein negativer Wert

und kann doch deswegen schon kein y-Wert deiner Wendepunkte
sein, ....

deine 1. Gleichung hingegen PASST !!

verwirrt

16.06.2004, 16:59

Mathespezialschüler

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RE: Gleichung für Wendepunkte einer Funktionsschar
Ich habs mal in eine Funktionsplotter einzeichnen lassen. Dabei hab ich einfach k=2 gewählt. Schon da lag der Wendepunkt nicht auf meiner Gleichung verwirrt

Ich weiß da grad irgendwie gar nichts mehr.

16.06.2004, 18:37

Poff

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RE: Gleichung für Wendepunkte einer Funktionsschar
Was gibts da zu rätseln ??

Die Wendepunkte erfüllen nicht die 2. Gleichung und liegen
damit auch nicht drauf. Lösungsheft hin, Lösungsheft her ...

Wenn die Wendepunkte stimmen (und sie stimmen),
dann muss eben die Gl 2 ....

Augenzwinkern

16.06.2004, 18:43

Mazze

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$\begin{align*} y\ =\ 3\ \cdot\ \sqrt[3]{4}\ \cdot\ \frac{x^2}{(\sqrt[3]{4})^2}\ =\ \frac{3}{\sqrt[3]{4}}\ \cdot\ x^2 \end{align*}$

Ich frage mich gerade ernsthaft warum du beide Wendepunkte gleichsetzt? Wenn das so wäre ´, ist es doch sinnlos 2 anzugeben. Hast du an der Form geschlampt, ausversehen n gleicheitszeichen gesetzt oder tatsächlich beabsichtigt beide WP gleichzusetzen? Oder hab ich was nicht mitgekriegt?

ich meine die beíden terme auf der rechten seite sind beide ungleich, y kann entweder das eine oder das andere sein, aber nicht bedies gleichzeitig.

16.06.2004, 18:53

Poff

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@Mazze,

ja, ich denke du hast das was nicht 'mitbekommen' ....
(lies die Post 1)

smile

16.06.2004, 19:01

Mazze

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Eine Frage ist die zugehörige Funktion eindeutig? (Beweis?)

vergesst meinen ersten Post hier einfach geschockt

Die Funktion durch die Wendepunkte hat doch genau die selben koordinaten in dem Wp von f, kann man dann nicht einfach sagen?

$\begin{align*} g(x) =\ 3\ \cdot\ \sqrt[3]{4}\ \cdot\ \frac{x^2}{(\sqrt[3]{4})^2} \end{align*}$

Das ist schon das was er meinte, und wenn

$\begin{align*} x = \sqrt[3]{4} *k \end{align*}$

dann liefert die funktion doch genau den Wp, ich komm auch irgendwie nich auf die Lösungsgleichung -.-

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