Krümmung einer Kurve berechnen

27.07.2010, 10:45

chaplin

Krümmung einer Kurve berechnen

Edit (mY+): Titel "implizit differenzieren schwere aufgabe" geändert.

Meine Frage:
Hallo, ihr Lieben!
Ich habe eine schwierige Aufgabe und komme nicht weiter!
Also erstmal die Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ eine Kurve in R³, definiert durch y=y(x) und z=z(x),
wobei
$\begin{eqnarray*} x^2+y^4+z^6=1, \, x^2+y^2=\theta z^2 \end{eqnarray*}$
Berechnen Sie die Krümmung dieser Kurve im Punkt (0.5, y(0.5), z(0.5))!

Meine Ideen:
Ich denke, dass man für die Krümmung sowohl erste und zweite Ableitung $\begin{eqnarray*} y'(x), z'(x) \end{eqnarray*}$ benötigt. Deswegen habe ich
$\begin{eqnarray*} \Phi=\begin{pmatrix} x^2+y^4+z^6-1\\ x^2+y^2-\theta z^2\end{pmatrix} \\<br /> \begin{pmatrix} y'(x) \\ z'(x) \end{pmatrix} = -[\Phi'_{(y,z)}]^{-1} \* \Phi'_x = \begin{pmatrix} -\frac{\theta x+3xz^4}{y(2\theta y^2+3z^4)} \\ \frac{x+2y^2}{z(2\theta y^2+3z^4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
berechnet.

Doch wie berechne ich jetzt die zweite Ableitung?
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen!!

27.07.2010, 14:46

Ehos

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Meist ist eine räumliche Kurve gegeben durch die Parameterdarstellung

$\begin{eqnarray*} \vec x (t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ __________(1)

Die Krümmung ist dann definiert durch
$\begin{eqnarray*} K=\frac{\left | \frac{d \vec x}{dt} \times \frac{d^2 \vec x}{dt^2}\right | }{\left | \frac{d \vec x}{dt} \right |^3 } \end{eqnarray*}$ __________(2)

Formel (2) müsste aus der Vorlesung bekannt sein. Speziell in deinem Falle übernimmt die x-Koordinate die Rolle des Parameters t. Also hat deine Kurve anstelle von (1) die spezielle Darstellung

$\begin{eqnarray*} \vec x (x)=\begin{pmatrix} x \\ y(x) \\ z(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ __________(3)

Die Krümmung (2) wird demanch wie folgt berechnet

$\begin{eqnarray*} K=\frac{\left | \frac{d \vec x}{dx} \times \frac{d^2 \vec x}{dx^2}\right | }{\left | \frac{d \vec x}{dx} \right |^3 } \end{eqnarray*}$ __________(4)

Um mit dieser Formel die Krümmung berechnen zu können, benötigst du die Parameterdarstellung (3) deiner Kurve. Insbesondere benötigst du dort die Funktionen y(x) und z(x). Diese beiden Funktionen gewinnst du, indem du die zwei gegebenen Gleichungen als Gleichungssystem auffasst:

$\begin{eqnarray*} x^2+y^4+z^6=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=\theta z^2 \end{eqnarray*}$

Bestimme daraus als explizit die Funktionen y(x) und z(x). Dann hast du die Parameterdarstellung (3) und kannst die Krümmung K mittels (4) berechnen.

Unklar bleibt für mich, ob $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ eine Konstante sein soll oder der Winkel aus den Kugelkoordinaten. Das sollte vorher geklärt werden, weil dies zwei unterschiedliche Aufgaben ergäbe.

27.07.2010, 14:58

Airblader

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Ah .. ein Student der Universität Stuttgart mit Semras Arbeitsblatt. Big Laugh

@ Ehos

Formel (2) ist aus der Vorlesung nicht bekannt. Das Theta ist eine positive Konstante.

air

28.07.2010, 00:13

chaplin

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Sorry, war nicht mehr da...
Die Formel ist mir bekannt und ich will sie auch anwenden. Dazu wollte ich die zweite Ableitung ja berechnen ;-)
Das Gleichungssystem lässt sich nicht so leicht explizit auflösen, zumindest bekomme ich bei Maple ewig lange Terme.
Das Thema, das zu der Aufgabe gehört ist implizites Differenzieren... Deswegen habe ich die erste Ableitung mit dieser Formel berechet. Aber wie komme ich an die zweite??

28.07.2010, 00:16

chaplin

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@airblader:
richtig geraten ;-) Aber die Formel gabs bereits im 1. Semester!

28.07.2010, 12:31

Ehos

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@chaplin
Du hattest gefragt, wie man aus folgendem Gleichungssystem die Funktionen y(x) und z(x) bestimmt

$\begin{eqnarray*} x^2+y^4+z^6=1 \end{eqnarray*}$ __________(1)
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2-\theta z^2=0 \end{eqnarray*}$ _________(2)

Umstellen beider Gleichungen (1), (2) nach $\begin{eqnarray*} y^4 \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} y^4=1-x^2-z^6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^4=(\theta z^2-x^2)^2 \end{eqnarray*}$

Gleichsetzen ergibt eine Gleichung zum Bestimmen von z(x).

Umstellen beider Gleichungen (1), (2) nach $\begin{eqnarray*} z^6 \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} 1-x^2-y^4=z^6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{x^2+y^2}{\theta} \right )^3=z^6 \end{eqnarray*}$

Gleichsetzen ergibt eine Gleichung für z(x).

Wenn du die Funktionen y(x), z(x) hast, hast du die Parameterdarstellung der Kurve (x,y(x),z(x)) und kannst die Krümmung wie beschrieben berechnen.

28.07.2010, 12:53

Airblader

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Zitat:

Original von chaplin
@airblader:
richtig geraten ;-) Aber die Formel gabs bereits im 1. Semester!

Echt? Möglicherweise war ich da sowieso nicht in der Vorlesung.
Wäre aber auch egal ... kann man so oder so verwenden. Augenzwinkern

Wird jetzt aber Zeit. In ca. 1 Stunde ist Abgabe. Big Laugh

air

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