Bestimmen von positiv / negativ definiter Matrix

27.07.2010, 13:19	franky07	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen von positiv / negativ definiter Matrix Hi, bereite mich gerade auf die morgige Klausur vor, läuft soweit auch alles ok in nem gewissen Rahmen habe nur noch ein paar Fragen: Wir haben mehrere Sachen gelernt um die positive / negative Definitheit zu bestimmen. Bitte erst alles durchlesen, da ich generell weiß wie man die Definitheiten bestimmt, das Problem ist nur, dass sich manche Bedingungen scheinbar widersprechen: 1. Methode: Eine Diagonalmatrix hat nur positive / negative Diagonaleinträge 2. Methode: (v1,v2) * Matrix und jene dann nochmal mit Matrix * (v1,v2) multiplizieren, dann ist die Matrix für entweder > 0 positiv definit oder bei < 0 negativ definit 3. Methode: Eine Matrix die so aufgebaut ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist positiv definit wenn a > 0 und ac - b^2 > 0 bzw. negativ definit wenn a < 0 und ac - b ^2 > 0 Jetzt verstehe ich bei der 2. Methode nicht, wie man das genau bestimmt ob das Ergebnis größer bzw. kleiner 0 ist, da ja z.b. sowas rauskommen kann: Für die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (v_{1},v_{2}) \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ multipliziert ergibt $\begin{eqnarray} 4v_{1}^{2} + 12v_{1}v_{2} + 4v_{2}^{2} \end{eqnarray}$ ... ist das nun > oder < 0 ? Nach der Bedingung von a > 0 und ac - b ^2 kleiner 0 wäre diese Matrix schonmal nicht positiv definit Hätte man nun eine solche Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wäre diese nach a > 0 und ac - b ^2 größer 0 und damit positiv definit obwohl die Multiplikation nach dieser Methode fast dasselbe Ergebnis wie oben ergibt, sodass man es nach der 2. Methode kaum bestimmen kann ob positiv oder negativ definit: $\begin{eqnarray} (v_{1},v_{2}) \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} 4v_{1}^{2} + 4v_{1}v_{2} + 4v_{2}^{2} \end{eqnarray}$ , also ein ähnlicher Term wie oben, ohne mir ersichtlichen Unterschied außer anstatt 12 eine 4 aber dass man daraus nun auf positiver Definitheit schließt ist mir ein Rätsel Ist leider etwas lang geworden, aber wollte nunmal versuchen wirklich alle Informationen da reinzupacken damit ihr es gut nachvollziehen könnt. Hoffe irgendjemand kann mir helfen :/ Herzlichen Gruß, Frank
27.07.2010, 13:52	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, machmal ist das besser und manchmal das. Einmal ist die Definition besser und manchmal das Hauptminorenkriterium. Für deine erste Matrix betrachte mal $\begin{eqnarray} (v_1, v_2) = (1,0) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} (v_1, v_2) = (-1,1) \end{eqnarray}$ . Das sollte immer der erste Schritt sein, wenn du nicht sicher bist. Versuche, zwei Vektoren zu finden, so dass einmal etwas positives und einmal etwas negatives herauskommt, um die Indefinitheit nachzuweisen.
29.07.2010, 13:10	franky07	Auf diesen Beitrag antworten »
So Klausur ist geschrieben, lief ziemlich gut, kam auch genau das dran.. habe dann allerdings immer nur mit dem a>0 bzw. a<0 und ac-b^2 > 0 Kriterium gearbeitet, ging am schnellsten.. bzw. bei manchen direkt mit positiver Diagonalmatrix argumentiert
29.07.2010, 13:55	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, dass es gut gelaufen ist. Und danke für deine Rückmeldung, toll, wenn man auch noch was von den Fragestellern hört.

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