B-Splines mittels Rekursionsformel berechnen
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27.07.2010, 15:43 saskow Auf diesen Beitrag antworten »
B-Splines mittels Rekursionsformel berechnen
Hallo,
ich habe ein Problem. Ich muss mittels der Rekursionsformel (s. Anhänge) eine B-Spline-Kurve vom Gerade 3 für 20 Datenpunkte berechnen.

Kann mir bitte jemand helfen? Ich komme mit der Anleitung

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=61400

nicht zurecht.

Vielen Dank für die Hilfe!

Ach ja, in der Formel steht k für den Grad, B für B-Spine.
27.07.2010, 15:58 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Rückfrage.
Zitat:
Original von saskow
Hallo,
ich habe ein Problem. Ich muss mittels der Rekursionsformel (s. Anhang) eien B-Spline-Kurve vom Gerade 3 für 20 Datenpunkte berechnen.

Kann mir bitte jemand helfen?


Das Wort Kurve macht mich stutzig. Der WS beschreibt nur wie man Funktionen durch Splines Interpoliert und erklärt die spezielle Basis der B-Splines.

Willst du eine Kurve im bestimmen? D.h. zu gleichen x-Wert könnte es mehrere y-Werte geben? Dann könnte der dies gemeint sein.
28.07.2010, 10:54 saskow Auf diesen Beitrag antworten »
Korrektur
Hallo,
ich glaube Kurve ist falsch. Ich habe ein Beispiel für die B-Splines vom Grade 1 (siehe Anhang). Dies möchte ich auf den Fall "B-Splines vom Grade 3" anwenden.

Dazu hab ich noch eine Frage: Sind die tp's meine Knotenpunkte? Die t's sind bei mir 20 aufsteigend sortierte Werte.

Was ist p und wie viele Knotenpunkte brauche ich eigentlich bei einem Grad 3?


Vielen Dank für die Antwort!!
28.07.2010, 13:50 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Korrektur
tp sind die Knotenpunkte.

Du suchst einen Spline = Element des Splinesraums (VR). Also musst du dich für eine Basis entscheiden. Dass sollen die B-Splines sein. Wie die aussehen ist hier angedeutet. Was dir noch fehlt, sind dann die zugehörigen Koeffizienten.

Es wäre nett, wenn du zu den Bildern auch mal darzuschreibst, was das sein soll. Imho hier eine Berechnungsvorschrift eines Basisvektoren, also der B-Splines. Und im ersten Bild die Rekursions"idee". Dumm ist, dass ihr nur einen Index habt.

Was willst du nun berechnen? Die B-Basis ? Interpolierenden Spline bzgl. der B-Basis?
28.07.2010, 17:26 Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mische mich mal kurz ein: gesucht sind glaube ich die Koeffizienten. Die lassen sich wohl auch mittels eines Neville-artigen Schemas berechnen (meine "Schützlinge" hatten sowas dieses Semester auch, ich fands aber einfach nur doof).

Mit 20 Datenpunkten wird das auf jeden Fall eine Menge Arbeit, sollt ihr das implementieren?
28.07.2010, 17:44 saskow Auf diesen Beitrag antworten »
Frage
Danke für die Mühe tigerbine, finde ich echt klasse. Ich arbeite gerade noch einmal schrittweise deinen WS durch.

Kannst du mir folgende Frage beantworten? Wie viele Knotenpunkte brauche ich, um B-Splines vom Grade 3 zu berechnen? Es steht dort ja, dass man das Gitter erweitern muss, um genügend Basisvektoren zu erhalten. Kann ich dann sagen, ich möchte meine Datenpunkte (also meine t's von 1,5 bis 27) in zwei Intervalle einteilen und dann erhalte ich als Gitte t,-2<t,-1<t,0<t,1<t,2,t3<t4?


Danke!
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28.07.2010, 17:55 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stimme dem zu, dass es doofe Rechnerei ist. B-Splines kann man sich imho mit maple ausgeben lassen. Ich hatte da auch mal was berechnet. Und so ein Datenpunktbeispiel sollte hier sein, wobei ich das nicht von Hand gerechnet habe. Programmierung geht nach dem was im WS steht und dauert was länger. Ich bin da aktuell aber gar nicht mehr drin.

Was ich mit der Erweiterung meinte, sieht du am besten auf diesen Bildern. Die brauchst du, um die Basissplines zu bestimmen. Deine Datenpunkte sind nicht zu verändern. Da soll der interpolierende Spline ja durch am Ende. Der muss wieder den üblichen Bedingungen genügen.

@ Dunkit: Wenn ihr da eine einfachere Formel habt, dann stell sie doch bitte ein. Wink
28.07.2010, 18:00 saskow Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabenstellung
Ich sehe schon, ich muss wohl doch die komplette Aufgabenstellung formulieren:

Also, Ausgangspunkt sind i Anleihen mit i=20, die einen beobachtbaren Marktpreis von P,i haben.
Ziel ist es, die Zinsstrukturkurve aus diesen Daten mittels B-Splines zu schätzen. Folgender Zusammenhang gilt:

P = Summe (CF,i *f,i(t))

CF,i sind gegeben, die Funktion f sollen B-Splines sein. Die t - Werte sind dabei die Restlaufzeiten der Anleihen, von 1,5 bis 27 Jahre. Die Koeffizienten der Splines müssen dann so geschätzt werden, dass die CF's mit den B-Splines multipliziert den aktuellen Preis entsprechen, also der oben angegebene Zusammenhang erfüllt ist. Die B-Splines müssen glatt sein, damit keine Sprungstellen in der Zinsstrukturkurve entstehen, also mindestens vom Grade 3 sein.


Ich bin für jede Hilfe dankbar!
28.07.2010, 18:15 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabenstellung
Und das ist eine Übungsaufgabe? Imho müßtet ihr dann das Verfahren - in euren Notationen - im Skript stehen haben. Implementierung ist ja schon genug Aufwand.... verwirrt
28.07.2010, 19:52 saskow Auf diesen Beitrag antworten »
Gitter
Ne, eine normale Übungsaufgabe ist das nicht. Ich möchte das in meine 'Diplomarbeit einbinden. Die Literatur, die ich dazu gefunden habe, erklärt die Implementierung nicht, es wird nur gesagt, dass B-Splines verwendet werden.

Wie lautet denn mein Gitter konkret, wenn ich folgende t's habe?


01 1,5
02 1,89
03 2,12
04 3,22
05 3,89
06 4,56
07 5,10
08 7,6
09 8,55
10 11,32
11 11,99
12 14,22
13 17,65
14 18,33
15 20,01
16 20,89
17 22,65
18 24,66
19 26,1
20 26,98

Kann ich selbst entscheiden, in wie viele Teilintervalle ich den Datensatz unterteile?
Es ist also möglich, zu sagen, dass ich die Teilintervalle [0,5] und [5,27] wähle? Oder ist die Anzahl der Teilintervalle von k abhängig?

Danke für eure Hilfe!
28.07.2010, 20:02 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gitter
Ich verstehe die Frage nicht. Kubische Splines arbeiten doch nur mit den Informationen an den Randpunkten eines Teilintervalls. Wenn du willst, dass alle deine Punkte interpoliert werden, dann hast du eben die Knoten

1 bis 20

Und Grundidee ist doch, dass du durch diese Datenkurve eine stückweise polynomiale Funktion legst aka Spline. Soll der denn natürlich oder ... sein?


Dann kommt raus

code: 
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27:

Matrix der Restriktionen in Monom-Darstellung: 1,x,x²,x³

RM =

  1.0e+003 *

    0.0011    0.0002    0.0003   -0.0001
   -0.0031    0.0065   -0.0028    0.0004
    0.0218   -0.0184    0.0055   -0.0005
   -0.0317    0.0217   -0.0045    0.0003
    0.0545   -0.0300    0.0058   -0.0004
   -0.2399    0.1172   -0.0187    0.0010
    0.6321   -0.2566    0.0347   -0.0015
   -1.0094    0.3590   -0.0423    0.0017
    1.4709   -0.4678    0.0496   -0.0017
   -1.6425    0.4663   -0.0438    0.0014
    0.3158   -0.0678    0.0047   -0.0001
    2.4729   -0.6071    0.0497   -0.0013
   -3.8424    0.8503   -0.0624    0.0015
    3.1539   -0.6489    0.0446   -0.0010
   -2.8343    0.5487   -0.0352    0.0008
    1.5381   -0.2711    0.0160   -0.0003
    0.6263   -0.1102    0.0066   -0.0001
   -0.1620    0.0212   -0.0007    0.0000
   -0.8733    0.1335   -0.0066    0.0001[


ausführlich fogt. Das ist nun eben bzg. Monombasis und nicht der B-Spline-Basis. Der Spline als Element des VR ist aber der Gleiche.
code: 
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263:


Es wird ein kubischer Spline berechnet. Spezifizierung folgt.
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Knoten:           t_0 ,...,  t_n
         Funktionswerte: f(t_0),...,f(t_n)
 
Knotenpunkte eingeben:   [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]
Funktionswerte eingeben: [1.5,1.89,2.12,3.22,3.89,4.56,5.10,7.6,8.55,11.32,11.99,14.22,17.65,18.33,20.01,20.89,22.65,24.66,26.1,26.98]
 

n =

    19

------------------------------------------------------------------------------
Berechnung der Deltas dt_0,...,dt_n-1

dt =

  Columns 1 through 17 

     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1

  Columns 18 through 19 

     1     1

 
Berechnung der Deltas df_0,...,df_n-1

df =

  Columns 1 through 10 

    0.3900    0.2300    1.1000    0.6700    0.6700    0.5400    2.5000    0.9500    2.7700    0.6700

  Columns 11 through 19 

    2.2300    3.4300    0.6800    1.6800    0.8800    1.7600    2.0100    1.4400    0.8800

 
Berechnung der Brüche df0/dt0,...,df_n-1/dt_n-1

dfdt =

  Columns 1 through 10 

    0.3900    0.2300    1.1000    0.6700    0.6700    0.5400    2.5000    0.9500    2.7700    0.6700

  Columns 11 through 19 

    2.2300    3.4300    0.6800    1.6800    0.8800    1.7600    2.0100    1.4400    0.8800

 
 
 
Berechnung der Betas   b_1,...,b_n-1

b =

  Columns 1 through 17 

     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1

  Column 18 

     1

 
Berechnung der Alphas  a_1,...,a_n-1 (vorläufig)

a =

  Columns 1 through 17 

     4     4     4     4     4     4     4     4     4     4     4     4     4     4     4     4     4

  Column 18 

     4

 
Berechnung der Gammas  c_1,...c_n-1

c =

  Columns 1 through 17 

     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1

  Column 18 

     1

 
Berechnung der rs      r_1,...,r_n-1 (vorläufig)

r =

  Columns 1 through 10 

    1.8600    3.9900    5.3100    4.0200    3.6300    9.1200   10.3500   11.1600   10.3200    8.7000

  Columns 11 through 18 

   16.9800   12.3300    7.0800    7.6800    7.9200   11.3100   10.3500    6.9600

 
------------------------------------------------------------------------------
Bitte wählen: 0 - natürlicher Spline
              1 - vollst. Spline
 
Deine Wahl: 0
------------------------------------------------------------------------------
 
Berechnung der Alphas  a_1,...,a_n-1 (nat. Spline)

a =

  Columns 1 through 10 

    3.5000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000

  Columns 11 through 18 

    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    4.0000    3.5000

 
Berechnung der rs      r_1,...,r_n-1 (nat. Spline)

r =

  Columns 1 through 10 

    1.2750    3.9900    5.3100    4.0200    3.6300    9.1200   10.3500   11.1600   10.3200    8.7000

  Columns 11 through 18 

   16.9800   12.3300    7.0800    7.6800    7.9200   11.3100   10.3500    5.6400

 
Aufstellen der Matrix M

M =

  Columns 1 through 10 

    3.5000    1.0000         0         0         0         0         0         0         0         0
    1.0000    4.0000    1.0000         0         0         0         0         0         0         0
         0    1.0000    4.0000    1.0000         0         0         0         0         0         0
         0         0    1.0000    4.0000    1.0000         0         0         0         0         0
         0         0         0    1.0000    4.0000    1.0000         0         0         0         0
         0         0         0         0    1.0000    4.0000    1.0000         0         0         0
         0         0         0         0         0    1.0000    4.0000    1.0000         0         0
         0         0         0         0         0         0    1.0000    4.0000    1.0000         0
         0         0         0         0         0         0         0    1.0000    4.0000    1.0000
         0         0         0         0         0         0         0         0    1.0000    4.0000
         0         0         0         0         0         0         0         0         0    1.0000
         0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
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         0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
         0         0         0         0         0         0         0         0         0         0

  Columns 11 through 18 

         0         0         0         0         0         0         0         0
         0         0         0         0         0         0         0         0
         0         0         0         0         0         0         0         0
         0         0         0         0         0         0         0         0
         0         0         0         0         0         0         0         0
         0         0         0         0         0         0         0         0
         0         0         0         0         0         0         0         0
         0         0         0         0         0         0         0         0
         0         0         0         0         0         0         0         0
    1.0000         0         0         0         0         0         0         0
    4.0000    1.0000         0         0         0         0         0         0
    1.0000    4.0000    1.0000         0         0         0         0         0
         0    1.0000    4.0000    1.0000         0         0         0         0
         0         0    1.0000    4.0000    1.0000         0         0         0
         0         0         0    1.0000    4.0000    1.0000         0         0
         0         0         0         0    1.0000    4.0000    1.0000         0
         0         0         0         0         0    1.0000    4.0000    1.0000
         0         0         0         0         0         0    1.0000    3.5000

 
Berechnung der Lösung s von Ms=r: s_1,...,s_n-1
  Columns 1 through 10 

    0.1605    0.7131    0.9770    0.6889    0.2873    1.7919    1.6650    1.8981    1.9026    0.8115

  Columns 11 through 18 

    3.5513    1.9632    0.9258    1.4135    1.1001    2.1061    1.7857    1.1012

 
Der komplette Vektor s: 

s =

  Columns 1 through 10 

    0.5047    0.1605    0.7131    0.9770    0.6889    0.2873    1.7919    1.6650    1.8981    1.9026

  Columns 11 through 20 

    0.8115    3.5513    1.9632    0.9258    1.4135    1.1001    2.1061    1.7857    1.1012    0.7694

 
Matrix der Restriktionen in Newton-Darstellung

RN =

    1.5000    0.5047   -0.1147   -0.1147
    1.8900    0.1605    0.0695    0.4137
    2.1200    0.7131    0.3869   -0.5099
    3.2200    0.9770   -0.3070    0.3259
    3.8900    0.6889   -0.0189   -0.3638
    4.5600    0.2873    0.2527    0.9992
    5.1000    1.7919    0.7081   -1.5431
    7.6000    1.6650   -0.7150    1.6631
    8.5500    1.8981    0.8719   -1.7393
   11.3200    1.9026   -1.2326    1.3741
   11.9900    0.8115    1.4185   -0.0972
   14.2200    3.5513   -0.1213   -1.3455
   17.6500    1.9632   -1.2832    1.5290
   18.3300    0.9258    0.7542   -1.0207
   20.0100    1.4135   -0.5335    0.7536
   20.8900    1.1001    0.6599   -0.3138
   22.6500    2.1061   -0.0961   -0.1283
   24.6600    1.7857   -0.3457    0.0069
   26.1000    1.1012   -0.2212    0.1106

 
Matrix der Restriktionen in Monom-Darstellung: 1,x,x²,x³

RM =

  1.0e+003 *

    0.0011    0.0002    0.0003   -0.0001
   -0.0031    0.0065   -0.0028    0.0004
    0.0218   -0.0184    0.0055   -0.0005
   -0.0317    0.0217   -0.0045    0.0003
    0.0545   -0.0300    0.0058   -0.0004
   -0.2399    0.1172   -0.0187    0.0010
    0.6321   -0.2566    0.0347   -0.0015
   -1.0094    0.3590   -0.0423    0.0017
    1.4709   -0.4678    0.0496   -0.0017
   -1.6425    0.4663   -0.0438    0.0014
    0.3158   -0.0678    0.0047   -0.0001
    2.4729   -0.6071    0.0497   -0.0013
   -3.8424    0.8503   -0.0624    0.0015
    3.1539   -0.6489    0.0446   -0.0010
   -2.8343    0.5487   -0.0352    0.0008
    1.5381   -0.2711    0.0160   -0.0003
    0.6263   -0.1102    0.0066   -0.0001
   -0.1620    0.0212   -0.0007    0.0000
   -0.8733    0.1335   -0.0066    0.0001
28.07.2010, 21:21 Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich find's leider nicht mehr =( Wenn ich mich recht erinnere war's aber auch nur eine rekursive Darstellung wie schon im Eingangspost formuliert. Melde mich, falls noch was auftaucht. Wink
28.07.2010, 21:27 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Imho bekommt man mit der aber nur die Basis und nicht den Spline dargestellt durch diese Basis. verwirrt

http://de.wikipedia.org/wiki/Spline#B-Splines
28.07.2010, 21:38 Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du recht.

Habe gerade das Schema gefunden, was ich meinte. Das war zum Auswerten von Bezier-Kurven.
Hilft hier wohl nicht weiter...

Von Hand Ausrechnen ist hier wohl wirklich einfach unangebracht.
28.07.2010, 22:06 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabenstellung
Zitat:
Original von saskow
I
Also, Ausgangspunkt sind i Anleihen mit i=20, die einen beobachtbaren Marktpreis von P,i haben.
Ziel ist es, die Zinsstrukturkurve aus diesen Daten mittels B-Splines zu schätzen. Folgender Zusammenhang gilt:

P = Summe (CF,i *f,i(t))

CF,i sind gegeben, die Funktion f sollen B-Splines sein. Die t - Werte sind dabei die Restlaufzeiten der Anleihen, von 1,5 bis 27 Jahre. Die Koeffizienten der Splines müssen dann so geschätzt werden, dass die CF's mit den B-Splines multipliziert den aktuellen Preis entsprechen, also der oben angegebene Zusammenhang erfüllt ist. Die B-Splines müssen glatt sein, damit keine Sprungstellen in der Zinsstrukturkurve entstehen, also mindestens vom Grade 3 sein.


Wir werden nicht umhin kommen zu verstehen, was er mit B-Splines schätzen meint. Den Spline oder die Basis.
29.07.2010, 15:16 saskow Auf diesen Beitrag antworten »

Dank für die Hilfe! Ich habe heute noch Literatur gefunden, die mein Problem anreißt:

Ich möchte zunächst die B-Spline-Basis bestimmen. Dazu teile ich meine 20 Datenpunkte in zwei Intervalle ein:

[t0;t1], [t n-1;t n] => [0;5], [5;26,33]
Ich habe also n Teilintervalle und benötige n+k Basisfunktionen. Deshalb werden 2k zusätzliche Datenpunkte definiert (k=Grad). Das ergibt:

t1 -> -3
t2 -> -2
t3 -> -1
t4 -> 0
t5 -> 5
t6 -> 27
t7 -> 28
t8 -> 29
t9 -> 30

Um die B-Spline-Basis einfach implemtieren zu können, wird empfohlen, die Rekursionsformel (s.Anhang) zu verwenden. In dem Buch ist t durch x ausgetauscht und tp durch den griechischen Buchstaben.

Dann steht dort noch, da rekursiv vorgegangen wird, berechnet man die B-Splines durch B-Splines niedrigerem Grades. (Klingt logisch, da rekursiv...)

Außerdem gilt noch für den B-Spline ersten Grades die "right-continuous indicator function" (s.Anhang)

Dann sollen die B-Spline-Basen für p = -k, -k+1, ... , n-1 mittels der Rekursionsformel spaltenweise von links berechnet werden.

Darin besteht jetzt mein Problem, ich weiß nicht, wie ich das genau mache. Ich weiß lediglich, dass ich für t meine 20 Werte einsetzen muss.

KAnn mir da jemand helfen? Danke!!
29.07.2010, 15:21 saskow Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja,
wenn ich die n+k Basisfunktionen bestimmt habe, dann werde ich den Spline als Linearkombination mit noch zu schätzenden Koeffizienten bestimmen. Wie ich das im weiteren machen, ist mir bekannt.

Danke für die ganze Hilfe!!!!
29.07.2010, 15:25 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst die zusätzlichen Punkte, weil du sonst für die Basissplines "am Rand" keinen Träger hättest. -> Bild Workshop.



Das hatte ich imho sogar programmiert mit der Rekursionsformel.... War aber nicht lustig Big Laugh

Ich sagte auch schon, dass man sich die Basis bei gegeben Daten ja z.B. mit maple ausrechnen lassen kann. Augenzwinkern
29.07.2010, 15:30 saskow Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich verstanden, doch soll ich das in Excel implementieren und die Koeffizienten mit Hilfe des Solvers schätzen.

Ist das denn richtig, dass ich für p = -k, -k+1, ... , n-1 einsetzen muss? Kannst du mir sagen, warum n-1?
29.07.2010, 16:11 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von saskow
Das hab ich verstanden, doch soll ich das in Excel implementieren und die Koeffizienten mit Hilfe des Solvers schätzen.


Welche Koeffizienten denn jetzt wieder. Eben wollen wir die Basis ausrechnen. geschockt Musst du denn nur dieses eine konkrete Beispiel machen oder ein allgemeingültiges Programm schreiben.

Zitat:

Ist das denn richtig, dass ich für p = -k, -k+1, ... , n-1 einsetzen muss? Kannst du mir sagen, warum n-1?


Was ist p, was ist n? Wo willst du was einsetzen? Bitte formuliere die Fragen so, dass ich mich nicht jedes Mal durch den ganzen Thread scrollen muss. Dazu fehlt mir die Zeit.

Die Basis hat eine Feste Dimension. Aus Rekusionsgründen (-> Formel) werde die einzelnen Basisvektoren (Splines) eben so bezeichnet. Vergleiche mein Bild.
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