Rang einer Matrix

27.07.2010, 18:18

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Rang einer Matrix

Meine Frage:
Habe folgende Matrix, soll den Rang bestimmen, schauen ob sie invertierbar ist und A²+2A bestimmen.

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & \\ 0 & 1 & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habe sowas nie gemacht, aber muss doch mit Gauß arbeiten und schauen, dass ich eine Zeile 0 bekomme. Sollte hier ja kein Ding sein und somit ist der Rang der Matrix 1?

Wie löse ich das von wegen invertierbar? Soll dabei nur begründen.

A² ist doch einfach A*A. Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & \\ 1 & 0 & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und 2A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -4 & \\ 0 & 2 & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.07.2010, 18:42

Elvis

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addierst du die 2. Zeile 2 mal zur 1. Zeile, hast du die Einheitsmatrix, also ist der Rang nicht 1 sondern 2.
A^2 ist falsch, immerhin ist 2A richtig.

28.07.2010, 11:51

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also muss ich beim rang an sich nicht die unterste zeile versuchen auf 0 zu bringen? ist A² 1 - 4 ?
0 1

28.07.2010, 11:57

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sry A² ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.07.2010, 12:11

klarsoweit

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RE: Rang einer Matrix

Zitat:

Original von Coupon
sry A² ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Original von Coupon
Habe sowas nie gemacht, aber muss doch mit Gauß arbeiten und schauen, dass ich eine Zeile 0 bekomme. Sollte hier ja kein Ding sein und somit ist der Rang der Matrix 1?

Du mußt die Matrix auf Zeilenstufenform bringen. (Das ist in diesem Fall besonders schwierig. Big Laugh

)

28.07.2010, 12:50

Ehos

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Bei 2x2-Matrizen kann man die inverse Matrix leicht explizit angeben und sich noch merken:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} ^{-1} =\frac{1}{a_{22}a_{11}-a_{12}a_{21}}\begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Offenbar existiert die inverse Matrix auf der rechten Seite nur dann, wenn der Nenner nicht Null wird. Da der Term im Nenner gerade die Determinante der gegebenen Matrix ist, existiert die Inverse also genau dann, wenn die Determinante nicht Null wird.

Das Nichtverschwinden der Determinante ist bekanntlich das allgemeine Kriterium für die Existenz der Inverse von matrizen in jeder Dimension.

28.07.2010, 16:09

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also ist meine inverse matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.07.2010, 16:14

Shortstop

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Zitat:

Original von Coupon
also ist meine inverse matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Right.

29.07.2010, 11:43

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kann mir nochmal jemand anhand von 1 oder 2 beispielen erklären wie man den rang einer matrix bestimmt? am besten in einer 3x3 matrix smile

29.07.2010, 12:20

klarsoweit

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Wie ich schon sagte, mußt du die Matrix auf Zeilenstufenform bringen. Der Rang der Matrix ist die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen.

29.07.2010, 13:09

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kann man auch argumentieren das beide vektoren linear unabhängig sind und deshalb der rang 2 ist oder hat das damit nix zu tun? Dachte halt man versucht die unterste zeile 0 zu bekommen, sprich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & \\ 0 & 0 & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.07.2010, 14:18

Reneee

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Das ist bei dieser Matrix unmöglich. Kannst es ja gerne versuchen wenn du willst. ^^

Aber generell nochmal :

Wenn du den Rang einer Matrix bestimmen willst , versuchst du die Matrix ganz normal auf Zeilenstufenform zu bringen und zählst die von 0 verschiedenen Zeilen.

Wenn du dabei feststellen solltest , dass es klappt und du hast eine Matrix der Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann ist der Rang deiner Matrix zum Beispiel was?

Und wenn du beim Gaußen am Ende auf eine solche Matrix kommst

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was wird wohl nun hier der Rang sein?

Und was ist wohl der Rang der Einheitsmatrix?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.07.2010, 23:09

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ok ich schau einfach welche zeilen nicht null sind, sprich bei deinen beispielen ist erst rang 3, dann 2, 3. oder?

29.07.2010, 23:20

Iorek

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Zitat:

Original von Coupon
bei deinen beispielen ist erst rang 3, dann 2

Wenn wir annehmen, dass $\begin{eqnarray*} a_1,b_2,c_3 \end{eqnarray*}$ jeweils ungleich 0 sind, dann stimmts Augenzwinkern