Kreisteilungskörper 4. Grades

27.07.2010, 18:22	Tobe89	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisteilungskörper 4. Grades Hi, ich rechne gerade eine Aufgabe zur Konstruierbarkeit eines regelmäßigen 5-Ecks durch. Ich habe auch eine grobe Lösungsskizze und soweit kein Problem, aber ich versuche alles Schritt für Schritt nach zu vollziehen. Dabei bin ich auf folgendes Problem gestoßen: Ich habe die Galoisgruppe von $\begin{eqnarray} Q(\varphi):Q \end{eqnarray}$ bestimmt (mit $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist 5. primitive Einheitswurzel) und diese als $\begin{eqnarray} Z_4 \end{eqnarray}$ (Restklassengruppe) bestimmt, mit einem Normalteiler isomorph zu $\begin{eqnarray} Z_2 \end{eqnarray}$ . Also soweit alles gut und schön, nun will ich aber die Zwischenkörper bestimmen und da habe ich ein Problem. Ich habe die Funktionen $\begin{eqnarray} f_i: \varphi \mapsto \varphi^i \end{eqnarray}$ für i=1,2,3,4, die jeweils auf $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ eingeschränkt die Identität ist. Somit besteht der Normalteiler aus $\begin{eqnarray} id, f_4 \end{eqnarray}$ . Ich will jetzt den Fixkörper dieses Normalteilers bestimmen und habe damit ein $\begin{eqnarray} r \in Q(\varphi) \end{eqnarray}$ genommen, dass ich nun darstellen kann als $\begin{eqnarray} r=a+b\varphi+c\varphi^2+d\varphi^3 \end{eqnarray}$ . Ich habe $\begin{eqnarray} \varphi=e^{\frac{2i \pi}{5}} \end{eqnarray}$ gewählt. Nun wende ich $\begin{eqnarray} f_4 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ an und erhalte $\begin{eqnarray} f_4(r)=a+b\varphi^4+c\varphi^8+d\varphi^{12}=a+b \varphi^4+c\varphi^3+\varphi^2 \end{eqnarray}$ , hierbei sind $\begin{eqnarray} a,b,c,d \in Q \end{eqnarray}$ . Aber was ist denn jetzt mit $\begin{eqnarray} \varphi^4 \end{eqnarray}$ ? Das muss doch irgendwie eine Linearkombination von $\begin{eqnarray} \{1,\varphi, \varphi^2,\varphi^3\} \end{eqnarray}$ sein. Diese Basis erhalte ich ja von $\begin{eqnarray} Q(\varphi):Q \end{eqnarray}$ , da ja $\begin{eqnarray} t^4+t^3+t^2+t+1 \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist... Da stecke ich irgendwie fest Gruß Tobias
27.07.2010, 18:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es mit $\begin{eqnarray} \varphi^4=-\varphi^3-\varphi^2-\varphi-1 \end{eqnarray}$ , das sagt uns doch das Minimalpolynom.
27.07.2010, 19:15	Tobe89	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann trag ich den Status "Definitionslücke" wohl zu Recht, danke, dass du mir den Wald zwischen den Bäumen gezeigt hast

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