Lösen einer Gleichung mit hilfe von Logarithmen

27.07.2010, 18:33

Matejka

Lösen einer Gleichung mit hilfe von Logarithmen

Heyho, hab da mal eine Frage zu einer Gleichung. Wir haben heute Angefangen mit Logarithmen zu rechnen. Bisher haben wir nur einfache Aufgaben gerechnet wie z.b.

$\begin{eqnarray*} 17*x^{x-2}=4*9^{2x} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich eine Aufgabe mit einer Addition, wie gehe ich da vor? Ich muss ja Potenzgesetze und Logarithmengesetze beachten, und will keines dieser Gesetze falsch missbrauchen.

Hier die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 2^{2(x+1)}+16=65*2^{x} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich vor?

$\begin{eqnarray*} 2^{2x+2}+16=65*2^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{2x+2}+2^{4}=65*2^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{2x+2}+2^{2}*2^{2}=65*2^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{2}*(2^{2x}+2^{2})=65*2^{x} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie dreh ich mich nur im Kreis, wahrscheinlich ist es sowas von einfach, nur bin ich gerade Blind^^.

Wäre toll, wenn mir hier einer kurz unter die Arme greifen könnte smile

grüße Matejka

27.07.2010, 18:57

Matejka

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Mein Beispiel soll normal so heißen^^

$\begin{eqnarray*} 17*3^{x-2}=4*9^{2x} \end{eqnarray*}$

ist mir ein kleiner fehler unterlaufen sry, aber das ist ja nicht mein Hauptproblem smile

27.07.2010, 19:01

IfindU

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Substituiere $\begin{eqnarray*} z:= 2^x \end{eqnarray*}$ , du bekommst eine quadratische Gleichung.

27.07.2010, 19:18

Matejka

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Ohje, wie schon gesagt, zu einfach^^" Ja wir hatten dieses Jahr Substitution angesprochen, aber nie wirklich benutzt, sollte ich ein wenig üben, dass ich ein Blick für bekomme. Danke dir!

Lösungsmenge ist dann -2 und 4

$\begin{eqnarray*} 4*(z^2+4)=65z \end{eqnarray*}$

Lösungsformel, dann erhalte ich für z1 = 16 und z2 = 0,25

anschließend resubstituieren und Logarithmengesetz anwenden.

Wie schon gesagt, vielen Dank!

27.07.2010, 19:18

Rechenschieber

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Muss es nicht eher heißen: "... keines falsch gebrauchen." ?

27.07.2010, 19:21

Matejka

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Sry für doppel Beitrag... Gibt es noch einen einfacheren Weg, ohne Substitution? Würde mich auf weitere Vorschläge freuen smile

27.07.2010, 19:22

Matejka

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Zitat:

Original von Rechenschieber
Muss es nicht eher heißen: "... keines falsch gebrauchen." ?

Das wohl eher ein deutsch Problem^^, ich denke aber, dass du recht hast :-)

27.07.2010, 19:24

IfindU

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Ich fürchte das ist schon das einfachste, natürlich könnte man wenn man geübter ist die Subsitution weglassen und mit der pq-Formel nach 2^x auflösen statt z, aber im Prinzip das gleiche. Und bei der Aufgabe wüsst ich keinen anderen Ansatz, auch wenn ich die Vermutung habe, dass gleich jemand 5 verschiedene Ansätze liefert Augenzwinkern

27.07.2010, 19:27

Matejka

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Alles klar^^, ist auch nicht so tragisch, der weg ist einleuchtent und das Ergebnis stimmt Big Laugh

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