Fourier Transformation eines Lichtpulses

28.07.2010, 09:05	Mathama911	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourier Transformation eines Lichtpulses Meine Frage: Ich soll die Fourier Transformation folgenden Lichtpulses berechnen: $\begin{eqnarray} E(t)= \cos(w_{0}t ) \cdot \theta \left(1- \| \frac{t}{a} \| \right) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \theta \left(x\right) =\begin{pmatrix} 1\ wenn\ x>0 \\ 0\ sonst \\ \end{pmatrix} und\ a>0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe dann die Aufgabe folgendermaßen interpretiert: $\begin{eqnarray} E(t)= \begin{pmatrix} \cos(w_0t)\ wenn\ \| t \|<a \\ 0\ wenn\ \| t \|\geq a \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun weiß ich nicht, wie ich die Pulsfunktion behandeln soll? Ich hab sie weggelassen und die Fourier-Transformation wie folgt aufgestellt: $\begin{eqnarray} F(w)=\int_{-\infty }^{a} \! 0\cdot e^{-iwt} \, dt + \int_{a }^{\infty} \! \cos(w_0t) \cdot e^{-iwt}= \int_{a }^{\infty} \! \cos(w_0t) \cdot e^{-iwt} \end{eqnarray}$ Kann ich das so machen und nun die Lösungen aus Tabellen für die Transformation des Cosinus verwenden, also die Transformation im Frequenzbereich von $\begin{eqnarray} \pi \left(\delta\left(w+ w_0\right)+\delta\left(w- w_0\right) \right) \end{eqnarray}$ ? Aber das würde bedeuten, dass die Pulsfkt. keinen Einfluss auf meine Lösung hat, das kann nicht stimmen?! Brauche dringend Hilfe, die Lösung der Aufgabe ist wichtig für mich!!!
28.07.2010, 15:48	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} E(t)=\cos(\omega_0 t)\cdot \Theta(1-\|\frac{t}{a}\|) = \begin{cases}<br /> \cos(\omega_{0}t) & \|t\|\leq a\\<br /> 0 & \text{sonst.}\end{cases} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \mathcal{F}[E(t)](\omega)=\int_{-a} ^{a} e^{- i\omega t} \cos(\omega_0 t) dt \end{eqnarray}$
28.07.2010, 22:01	Mathama911	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort. Das Problemm sind jetzt für mich die Integralgrenzen -a und a. Die Bildfunktion für den cosinus ist ja: $\begin{eqnarray} \pi \left(\delta\left(w+ w_0\right)+\delta\left(w- w_0\right) \right) \end{eqnarray}$ aber da sind die Grenzen ja +/- $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ! Wie verändern die Grenzen nun die Lösung. Muss ich dazu tief in die Distributionstheorie einsteigen? THX for help!
29.07.2010, 09:55	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \Rightarrow \mathcal{F}[E(t)](\omega)=\int_{-a} ^{a} e^{- i\omega t} \cos(\omega_0 t) dt = \frac{1}{2} \int_{-a} ^{a} (e^{i (\omega_0 -\omega) t} + e^{i (\omega+\omega _0) t}) dt \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du sehen, wieso dies für $\begin{eqnarray} a\to \infty \end{eqnarray}$ gegen die Delta-Funktion geht. Für endliche Intervallgrenzen (wie hier) kannst du das Integral aber normal auswerten.
29.07.2010, 11:10	Mathama911	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, natürlich! Die Lösung ist offensichtlich! Vielen Dank für die Hilfe. Nun ist es easy das Integral auszuwerten!!!
29.07.2010, 13:02	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag: Heute morgen hab ich leider in der zweiten e-Fkt im Argument das "-" vor dem i vergessen. Nicht dass du dich wunderst.
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29.07.2010, 15:41	Mathama911	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich bereits bemerkt, trotzdem Danke! Meine endgültige Lösung lautet: $\begin{eqnarray} F\left\{ w\right\}= \frac{1}{\left(w_0-w\right) } \sin(\left(w_o-w\right)a )+\frac{1}{\left(w_0+w\right) } \sin(\left(w_o+w\right)a ) \end{eqnarray}$ Ich hoffe das passt und ich hab mich nicht verrechnet! Nochmals Danke für die Hilfe *giles*
29.07.2010, 16:10	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab ich auch, passt wohl

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