möglichst großen Exaktheitsgrad erreichen

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frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »
möglichst großen Exaktheitsgrad erreichen
Sei eine Quadraturformel zu Approximation des Integrals .
(a) Bestimmen Sie die Knoten und Gewichte so, dass Q möglichst großen Exakheitsgrad hat. Nennen Sie den Exaktheitsgrad.
(b) Verwenden Sie die Quadraturformel aus (a) um den exakten Wert des Integrals zu bestimmen.

Also ich weiß aus der Vorlesung, dass eine Quadraturformel mit m Knoten immer höchstens Exaktheitsgrad 2m-1 haben kann, in diesem Fall also höchstens 3.
Kann dieser EG von 2m-1 eigentlich immer erreicht werden wenn man die Knoten und Gewichte richtig wählt oder könnte es auch sein, dass wir in der Aufgabe oben den EG 3 gar nicht erreichen?
Da wir in (b) auch eine Funktion 3. Grades haben die wir exakt integrieren sollen gehe ich eigentlich schon davon aus, dass wir EG 3 erreichen.

Wie muss ich nun vorgehen um die Knoten und Gewichte zu bestimmen? Ich hab an Gauss-Legendre gedacht aber damit wird in (b) nicht exakt integriert. Dann dachte ich an Gauss-Tschebyscheff aber auch damit funktioniert es nicht. Zumal Rechnungen mit cos eh sehr blöd sind wenn man keinen Taschenrechner benuten darf...

Achso, zu (b)
Da machen wir eine kleine Indexverschiebung um die Grenzen anzupassen, also berechnen wir
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Rückfrage.
(a) Es sind Gewichte und Knoten frei wählbar. Maximale Ordnung: hier, (ich beginne bei o zu zählen!). Es führt mich wie dich, zu Gauss. Und wegen der Gewichtsfunktion 1 würde ich meinen Gauss-Legendre. Es könnte nun formal zum Verhängnis werden, dass wir nur 2 Knoten haben.

Warum funktioniert bei dir in (a) Gauß-Legendre nicht?
frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rückfrage.
Naja bei Gauss-Legendre mit 2 Knoten sind die Knoten und während die Gewichte beide 1 sind.
Wenn ich damit dann das Integral aus (b) ausrechne erhalte ich es müsste aber 1/2 sein
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rückfrage.
Aber die Funktion in (b) ist doch auch kein Polynom.
frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rückfrage.
Aber die Aufgabenstellung besagt, dass man mit der Quadraturformel das Integral aus (b) exakt lösen soll.
Deswegen bin ich davon ausgegangen, dass wenn das Integral nicht exakt gelöst wird die Quadraturformel falsch ist.
Ist die Aufgabenstellung echt so fies?
Das ist ne Klausuraufgabe.
Also du meinst dass das schon die Lösung für (a) ist, richtig?
Aber wie löse ich dann (b)?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rückfrage.
Zitat:
(b) Verwenden Sie die Quadraturformel aus (a) um den exakten Wert des Integrals zu bestimmen.


Dann ist es aber mit der Indexverschiebung alleine nicht getan. Denn (a) liefert Formeln, die Polynome exakt integrieren.



Ich würde daher vorschlagen, den Betrag aufzulösen und über 2 Teliintervalle zu integrieren.





Was erhältst du nun?
 
 
frischfisch Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rückfrage.
Achso... Blöde Beträge, die mag ich nie wenn die in Integralen oder so vorkommen.
Ok, jetzt hab ich also mein Integral in 2 Integrale aufgeteilt, aber nun muss ich die beiden noch so Indexverschieben, dass die Grenzen wieder passen... *nachdenk*


Und wenn man nun die Quadraturformel für diese beiden Integrale benutzt erhält man tatsächlich 1/2 als Ergebniss.
Cool, danke! Blumen
Ich kam irgendwie gar nicht auf die Idee, dass bei der (b) was falsch sein könnte...

Aber jetzt nochmal ne allgemeine Frage.
Erhalte ich mit der Gauss-Legendre-Formel immer einen Exaktheitsgrad von 2m-1 (bzw. 2m+1 wenn man bei 0 loszählt)?
Sollte man die Knoten und Gewichte der Gauss-Legendre-Formel bis zu einer bestimmten Anzahl einfach wissen? Wenn ja, was würdest du sagen bis wohin?
Die Herleitung hab ich mir mal angeschaut und das fand ich eher zu kompliziert für ne Klausur.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rückfrage.
Ja, wenn du Knoten und Gewichte frei wählen kannst, bekommst du maximalen Grad. 2 bis 3 Knoten würde ich auf ne Klausur mal lernen, die Vorschrift ist imho was für eine Klausur, in die man Unterlagen mitnehmen darf.
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