Konvergenz von Folgen

29.07.2010, 15:21

apollon

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Konvergenz von Folgen

Hallo

Wink

die Konvergenz von Folgen zu zeigen bereitet mir Schwierigkeiten. Ich hänge gerade an der Folge:

$\begin{eqnarray*} x_n = \frac{2+(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$

Es ist eigentlich offensichtlich, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Wie zeigt man aber, dass sie konvergent ist?

Monoton ist sie anscheinend nicht, was man an den ersten Folgegliedern sieht. Bei der Beschränktheit fehlt mir ein guter Ansatz zum Abschätzen.

Vielen Dank im Voraus

Gruß Andi

29.07.2010, 15:24

system-agent

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Für die Beschränktheit:
$\begin{eqnarray*} |x_n|=\left|\frac{2+(-1)^n}{n}\right|=\frac{|2+(-1)^n|}{n} \end{eqnarray*}$

Nun die Dreiecksungleichung. Nutze, dass $\begin{eqnarray*} n\geq1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |-1|=? \end{eqnarray*}$ .

29.07.2010, 15:42

apollon

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Danke für deine Antwort.

Mit der Dreiecksungleichung folgt

$\begin{eqnarray*} |2+(-1)^n|=2+|(-1)^n| \end{eqnarray*}$ .

Bei $\begin{eqnarray*} |(-1)^n| \end{eqnarray*}$ bin ich mir aber nicht sicher. Das alterniert. Durch den Betrag müsste das aber egal sein, sodass dort dann $\begin{eqnarray*} |1|=1 \end{eqnarray*}$ oder, wie du schon hingewiesen hast, $\begin{eqnarray*} |-1|=1 \end{eqnarray*}$ steht.

29.07.2010, 15:46

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen
Ich würde die Folge in die Folgen $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n = \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ zerlegen und diese einzeln betrachten. smile

smile

29.07.2010, 15:59

apollon

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Meinen Sie Monotonie und Beschränktheit für beide Folge betrachten und dann auf die Komposition rückschließen?

Als ich die Grenzwertsätze angewendet habe, habe ich die Teilfolgen betrachtet.
Aber irgendwie weiß ich bei der Monotonie und Beschränkheit hier nicht weiter. $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ alterniert ja wieder, ist also nicht monoton. $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ ist streng monoton fallend. Bei der Beschränktheit find ich keinen Ansatz. Bitte um Hilfe smile

smile

29.07.2010, 16:01

klarsoweit

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Was willst du denn mit Monotonie und Beschränkheit? Es geht doch um Konvergenz. Konvergente Folgen müssen nicht zwingend monoton sein.

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29.07.2010, 16:06

apollon

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Aber soweit ich weiß reicht allein die Beschränktheit nicht für Konvergenz*. Berichtigen Sie mich bitte, falls ich falsch liege.

(*Monotoniekriterium: Jede beschränkte monotone Folge reeller Zahlen ist konvergent) -> darauf wollte ich die Argumentation aufbauen

29.07.2010, 16:20

system-agent

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Ein "du" reicht, du musst hier niemanden Siezen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Übrigens kommt mit der Dreiecksungleichung nicht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |2+(-1)^n|=2+|(-1)^n| \end{eqnarray*}$

sondern
$\begin{eqnarray*} |2+(-1)^n|\leq|2|+|(-1)^n|=2+1=3 \end{eqnarray*}$ , das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} |x_n|\leq3 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , also beschränkt.

Für die Konvergenz würde ich dir aber das empfehlen was klarsoweit vorgeschlagen hat. Das läuft auf die Grenzwertsätze hinaus.

Übrigens deine Argumentation kannst du so nicht durchführen. Der von dir zitierte Satz verlangt dass die Folge monoton und beschränkt ist. Gilt eines davon nicht, kannst du den Satz nicht nutzen.

29.07.2010, 16:42

apollon

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Ok. Danke.

Habt ihr das so gemeint?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n = \lim_{n \to \infty } \frac{2+(-1)^n}{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{2}{n} + \lim_{n \to \infty } \frac{(-1)^n}{n} = 0+0=0 \end{eqnarray*}$

In der Art hab ich den Grenzwert auch schon berechnet. Aber das ist irgendwie nicht das, was ich wollte.

Wie würde denn ein Beweis aussehen, dass die Folge konvergiert? In der Uni haben wir meist Monotonie und Beschränktheit überprüft und haben dann mit dem oben genannten Kriterium argumentiert (studiere nicht Mathematik).

Das die Monotonie nicht notwendig ist, verstehe ich. Aber wie überprüfe ich allgemein, ob eine Folge konvergiert, ohne die Berechnung von oben. Vor allem wenn ich das Monotoniekriterium nicht anwenden kann?

29.07.2010, 16:53

Shortstop

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Du kannst

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$

in 2 Teilfolgen zerlegen und zeigen, dass diese denselben Grenzwert haben.

edit: Allgemein zeigst du die Konvergenz einer Folge so:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} N\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so,
dass $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\epsilon \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \forall n>N \end{eqnarray*}$ .

Wobei a dein Grenzwert ist.

Also: $\begin{eqnarray*} |\frac{(-1)^n}{n} - 0| \le \cdots \end{eqnarray*}$

29.07.2010, 16:58

apollon

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Meinst du $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{n} = (-1)^n \cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

Aber $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ ist divergent.
$\begin{eqnarray*} \frac{1} {n} \end{eqnarray*}$ geht gegen 0.

29.07.2010, 16:59

Shortstop

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Zitat:

Original von apollon
Meinst du $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{n} = (-1)^n \cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

Aber $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ ist divergent.
$\begin{eqnarray*} \frac{1} {n} \end{eqnarray*}$ geht gegen 0.

Nein. Probier mal die Teilfolgen $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2n-1} \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

29.07.2010, 17:04

AD

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Zitat:

Original von apollon
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n = \lim_{n \to \infty } \frac{2+(-1)^n}{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{2}{n} + \lim_{n \to \infty } \frac{(-1)^n}{n} = 0+0=0 \end{eqnarray*}$

In der Art hab ich den Grenzwert auch schon berechnet. Aber das ist irgendwie nicht das, was ich wollte.

Wie würde denn ein Beweis aussehen, dass die Folge konvergiert?

Wenn du eine Folge zerlegen kannst als Summe zweier Folgen, die du (anderweitig) als konvergent beweisen kannst bzw. als bekannt voraussetzen kannst, dann IST diese Berechnung nicht nur eine Grenzwertberechnung, sondern zugleich auch der Nachweis der Konvergenz.

Du bist komischerweise nicht der erste, der sich völlig überflüssigerweise dann noch zusätzlich Arbeit durch weitere Konvergenzbeweise machen will - anscheinend werden die Rechengesetze für Grenzwerte in ihrer Aussagekraft völlig unterschätzt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.07.2010, 17:17

apollon

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Zitat:

Original von kvnb

Zitat:

Original von apollon
Meinst du $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{n} = (-1)^n \cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

Aber $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ ist divergent.
$\begin{eqnarray*} \frac{1} {n} \end{eqnarray*}$ geht gegen 0.

Nein. Probier mal die Teilfolgen $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2n-1} \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Also für gerade und ungerade n? Daran hatte ich auch schon gedacht.

$\begin{eqnarray*} x_n=\frac{2+(-1)^n}{n} = \frac{2}{n} + \frac{(-1)^n}{n} = \begin{pmatrix} \frac{2}{n} + \frac{1}{n} , n=gerade \\ \frac{2}{n} - \frac{1}{n} , n=ungerade \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Arthur Dent
Wenn du eine Folge zerlegen kannst als Summe zweier Folgen, die du (anderweitig) als konvergent beweisen kannst bzw. als bekannt voraussetzen kannst, dann IST diese Berechnung nicht nur eine Grenzwertberechnung, sondern zugleich auch der Nachweis der Konvergenz.

Dankeschön erstmal für diese Antwort. Kann ich dann deine Aussage auf die beiden Teilfolgen $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2n+1} \end{eqnarray*}$ beziehen? Beide sind monoton und beschränkt und somit konvergent gegen einen Grenzwert. Das würde dann heißen, dass die ursprünglich Folge auch konvergiert.

29.07.2010, 17:28

AD

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Nein, ich bezog mich klar und unmissverständlich nur auf eine Summenzerlegung wie

Zitat:

Original von apollon
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n = \lim_{n \to \infty } \frac{2+(-1)^n}{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{2}{n} + \lim_{n \to \infty } \frac{(-1)^n}{n} = 0+0=0 \end{eqnarray*}$

und nur auf die!

Bitte keine weiteren Aussagen (etwa über Teilfolgen) reininterpretieren - sowas mag ich überhaupt nicht. unglücklich

unglücklich

29.07.2010, 17:32

apollon

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verwirrt

Also kann man die Folge nicht als Summenzerlegung von $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2n+1} \end{eqnarray*}$ betrachten?

29.07.2010, 17:54

Shortstop

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Zitat:

Original von apollon
verwirrt

verwirrt

Also kann man die Folge nicht als Summenzerlegung von $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2n+1} \end{eqnarray*}$ betrachten?

Niemals! Du darfst hier nicht das durcheinanderwerfen was Arthur Dent und ich gesagt haben. Ich bezog mich darauf, dass du wissen wolltest wie man die Konvergenz einer Folge wie $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ zeigen kann. Das geht auf mehrere Art und Weisen, eine davon wäre eben die Betrachtung der Teilfolgen für gerade und ungerade n. Das hat aber nichts (!) mit einer Summenzerlegung zu tun. Du kannst aber zeigen, dass die beiden Teilfolgen gegen denselben Grenzwert konvergieren.

Alternativ:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{n} = (-1)^n \cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Also was beschränktes mal eine Nullfolge. Auch hieraus kann man Konvergenz zeigen.

29.07.2010, 17:59

apollon

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Ok vielen Dank. Aber ich fürchte ich versteh das alles immernoch nicht. Kannst du mir gute Literatur zu dem Thema empfehlen? Am besten mit Beispielen.. Meine Bücher und das Skript geben dazu nicht viel her. Will es aber endlich verstehen und auch können.

29.07.2010, 18:06

Shortstop

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Ich hoffe, dass wir dir jetzt nicht alles verkompliziert haben?! Aber du hast ja nach einem Beweis gefragt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du sagtest ja, du studierst kein Mathematik, also weiss ich nicht wie tief ihr mit der Materie vertraut sein müsst, aber zu den Grundüberlegungen zur Folgenkonvergenz findest du auch einiges über Google, z.B. hier.

29.07.2010, 18:14

apollon

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Dankeschön. Werde ich mal durcharbeiten.

In meinem Kurs läuft es meist "nur" auf die Grenzwertsätze hinaus. Das werd ich weiter üben, dann bekomm ich vielleicht auch ein besseres Gefühl für die Konvergenz.

Trotzdem danke für alle Antworten. Einiges ist mir ein bisschen klarer geworden.

Bis zum nächsten Mal Wink

Wink

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