Untervektorräume

30.07.2010, 11:42

totti8

Untervektorräume

Hi bin neu hier und ziemlich verzweifelt was Untervektorräume angeht, studiere E-Technik und hänge in Mathe 2 an den besagten Untervektorräumen fest.

Arbeite hauptsächlich mit dem Papula wo zu Unterräumen nichts drin steht, bin nun auf der Suche nach einer verständlichen "Zusammenfassung" am besten mit Beispielen zum Thema Unterräume.
Hat da jemand einen Tipp wo man dazu etwas findet? Was ein Student mit durchschnittlichen Mathe Kenntnissen versteht.

vielen Dank schon mal!

30.07.2010, 11:46

Iorek

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Wikipedia hat eine schöne, knappe Zusammenfassung dazu.

30.07.2010, 12:06

totti8

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Danke für die schnelle Antwort allerdings, suche ich etwas was ein bisschen detaillierter auf das Thema eingeht.
Google hab ich schon bemüht aber noch nicht so richtig was brauchbares gefunden!

30.07.2010, 12:11

Leopold

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Ich würde dir empfehlen, sobald du dir die Definition eines Unterraums erarbeitet hast, einfach einmal mit Übungsaufgaben anzufangen, zuerst mit ganz einfachen. Und wenn dann Fragen auftauchen, ob zur Definition oder zu den Übungsaufgaben, dann stelle sie hier konkret.

30.07.2010, 15:49

totti8

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[latex]U = \left\{\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix} | x_1^2 - 3x_3 + x_4 = 0 \right\} [\latex]

30.07.2010, 16:03

Leopold

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Zitat:

Original von totti8
... x_1^2 - 3x_3 + x_4 = 0 \right\} [\latex]

Die schließende Latex-Klammer sieht so aus: [/latex]

30.07.2010, 16:06

totti8

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Ist folgende Mengen U Unterraum des K-Vektorraums V?

$\begin{eqnarray*} U=\left\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \in \mathbb R_4 | x_1^2 - 3x_3 + x_4 = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

So mein Ansatz sieht nun so aus!

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 * \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix} + \lambda_2 * \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$

dann komme ich auf die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1^2a_1^2 + 2\lambda_1a_1\lambda_2b_1 + \lambda_2^2b_1^2 - 3\left(\lambda_1a_3 + 3\lambda_2b_3\right) + \left(\lambda_1a_4 + \lambda_2b_4 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

ein bissl umformen

$\begin{eqnarray*} \lambda_1^2a_1^2 - \lambda_1 * \left(3a_3 + a_4 \right)= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\lambda_1 * \left(3a_3 + a_4 \right)= 0 => -\lambda_1a_1^2 \end{eqnarray*}$

somit bekomme ich

$\begin{eqnarray*} \left(\lambda_1^2 -\lambda1\right)*a_1^2 = 0 \end{eqnarray*}$

so nun wähle ich
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \neq 0,1 => a_1\neq0 \end{eqnarray*}$ woraus dann folgt das es kein UR ist!?!

so ist das so richtig? und wenn ist die vorgehensweise richtig?

30.07.2010, 16:07

totti8

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Danke hab es auch grad gemerkt verwirrt

30.07.2010, 16:09

Leopold

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Warum heißen die Komponenten deines Vektors $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ usw., in der Bedingung kommen aber $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ usw. vor?

Bitte korrigieren.

30.07.2010, 16:23

Leopold

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Ich vermute, du sollst überprüfen, ob das ein Untervektorraum ist. Da die Bedingung ein Quadrat enthält, spricht alles dafür, daß dem nicht so ist. Du mußt daher nur die Verletztheit eines Unterraumkriteriums nachweisen. Dazu genügt ein einziges Beispiel.

Gib etwa einen Vektor an, der zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gehört, so daß sein Gegenvektor nicht mehr zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gehört. Mache es dir dabei möglichst einfach (Nullen, Einsen, Minus-Einsen zum Beispiel).

Deine Rechnung zu Anfang würde man machen, wenn man nachweisen wollte, daß $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ist. Was allerdings nach "ein bisserl umformen" passiert, ist äußerst rätselhaft ...

30.07.2010, 16:44

totti8

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Ja, das soll überprüft werden. Der Ansatz um das zu überprüfen passt aber, oder? Weise ich das nicht damit nach, weil ich ja sage wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ z.B. 2 ist $\begin{eqnarray*} a_1 \neq0 \end{eqnarray*}$

Das war wohl nicht so ganz sinnvoll wie ich das auf geschrieben habe also das umformen nochmal etwas genauer wie ich es mir vorgestellt habe.

$\begin{eqnarray*} \lambda_1^2a_1^2 - \lambda_1 * \left(3a_3 + a_4 \right)= 0 \end{eqnarray*}$

das kann ich doch so zusammen fassen um die Bedingung zu erfüllen und dann das $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ überprüfen, oder?

$\begin{eqnarray*} \left(3a_3 + a_4 \right) => a_1^2 \end{eqnarray*}$

womit ich dann hieraus

$\begin{eqnarray*} \lambda_1^2a_1^2 - \lambda_1 * \left(3a_3 + a_4 \right)= 0 \end{eqnarray*}$

darauf komme

$\begin{eqnarray*} \left(\lambda_1^2 -\lambda1\right)*a_1^2 = 0 \end{eqnarray*}$

so nun wähle ich
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \neq 0,1 => a_1\neq0 \end{eqnarray*}$ woraus dann folgt das es kein UR ist!?!

30.07.2010, 17:01

Leopold

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Schon diese Gleichung verstehe ich nicht:

Zitat:

Original von totti8
$\begin{eqnarray*} \lambda_1^2a_1^2 + 2\lambda_1a_1\lambda_2b_1 + \lambda_2^2b_1^2 - 3\left(\lambda_1a_3 + 3\lambda_2b_3\right) + \left(\lambda_1a_4 + \lambda_2b_4 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Was ist denn vorausgesetzt? Und was wird behauptet? Das muß bei einem ordentlichen Beweis immer klar aus den Formulierungen hervorgehen. Mir scheint, daß du hier den Beweis mit der Behauptung anfangen willst. Ein solcher Beweis ist immer wertlos.

Noch einmal: Du mußt nur einen EINZIGEN KONKRETEN Vektor, also einen mit richtigen Zahlen, angeben, der zu $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gehört, dessen Gegenvektor aber nicht. Dann ist gezeigt, daß $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ kein Unterraum ist. Es ist hier völlig überflüssig, mit irgendwelchen Buchstaben zu rechnen.
Etwas anderes wäre es, wenn du nachweisen wolltest, daß $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ist. Dann sind allgemeine Rechnungen, also mit Variablen, vonnöten.

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