Schnitt von Eigenräumen

30.07.2010, 09:53

DarthVader

Schnitt von Eigenräumen

Hallo miteinander,
ich habe folgendes problem:

Zeigen Sie: Sind zwei Eigenwerte $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ verschieden, so gilt $\begin{eqnarray*} Eig(F,t_1) \cap Eig(F, t_2)=\left\{ \vec{0 }\right\} \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß nicht ob es wichtig ist, aber vorher habe ich gezeigt, dass Eig(F,t) ein Unterraum von R^3 ist.

Zudem habe ich folgende Definition für den Eigenraum:
$\begin{eqnarray*} Eig(F,t):=\left\{ X \in \mathbb R^3 | F(X)=t \cdot X \right\} \end{eqnarray*}$
und den Hinweis, dass die Menge aller Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert t von F $\begin{eqnarray*} Eig(F,t) \backslash \left\{ \vec{0 }\right\} \end{eqnarray*}$ ist.

Idee:

Ich habe dann also folgendes:
$\begin{eqnarray*} Eig(F,t_1) \cap Eig(F,t_2):= \left\{ X \in \mathbb R^3 | F(X) \in Eig(F,t_1) \wedge F(X) \in Eig(F, t_2) \right\} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich bei Wiki noch folgendes zu Definition der Schnittmenge gefunden und auf mein Problem angewandt:
$\begin{eqnarray*} Eig(F, t_1) \cdot Eig(F, t_2)=t_1 \cdot X \cdot t_2 \cdot X =\vec{0} \end{eqnarray*}$

Da nach Vorraussetzung jedoch t_1 und t_2 verschieden sind, ist diese Gleichung nur dann erfüllt, wenn X der Nullvektor ist.

Tja so viel zu meiner Idee. Ich weiß jetzt nicht ob ich die richtige Richtung eingeschlagen habe und wäre sehr glücklich, wenn ihr mir unter die Arme greift smile

30.07.2010, 10:06

Leopold

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Im Wikipedia-Artikel wird darauf verwiesen, daß statt des Schnittzeichens "nach unten offenes Hufeisen" auch der Malpunkt gesetzt werden kann. Das betrifft hier aber nur den Schnitt zweier Mengen. Das darfst du nicht verwechseln mit dem Malpunkt, der für die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor steht. Damit wird deine ganze Argumentation hinfällig. (Um es deutlich zu sagen - nicht böse sein! - es ist ziemlicher Unsinn).

Gehe so vor: Es sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein Vektor, der dem Schnitt der beiden Eigenräume angehört. Dann gilt einerseits $\begin{eqnarray*} F(X) = t_1 X \end{eqnarray*}$ und andererseits $\begin{eqnarray*} F(X) = t_2 X \end{eqnarray*}$ . Ein Vergleich der Ausdrücke führt auf die Gleichung

$\begin{eqnarray*} t_1 X = t_2 X \end{eqnarray*}$

Jetzt bringe alle Glieder auf eine Seite und forme um. Was sagen dir die Vektorraumaxiome wegen $\begin{eqnarray*} t_1 \neq t_2 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ?

30.07.2010, 10:18

DarthVader

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Ah erst mal vielen Dank...jetzt weiß ich doch schon mal wie ich es nicht machen darf Augenzwinkern

ok dann habe ich zunächst:
$\begin{eqnarray*} t_1X-t_2X=X(t_1-t_2)=0 \end{eqnarray*}$

da nun aber t_1 ungleich t_2 ist muss es sich bei X um den Nullvektor handeln.

30.07.2010, 10:25

Leopold

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So ist's.
Und was hast du damit gezeigt? (Wovon warst du ausgegangen? Was hast du gefolgert?)

30.07.2010, 10:29

DarthVader

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ausgegangen bin ich von der definition der eigenräume und das zum gleichen eigenwert gilt, Eig(F,t)\{0}

folgern würde ich jetzt:
beim schnitt zweier eigenräume mit verschiedenen eigenwerten muss der eigenvektor der nullvektor sein

...

30.07.2010, 10:34

Leopold

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Zitat:

Original von DarthVader
ausgegangen bin ich von der definition der eigenräume und das zum gleichen eigenwert gilt, Eig(F,t)\{0}

???

Das ist keine Aussage.

Zitat:

Original von DarthVader
folgern würde ich jetzt:
beim schnitt zweier eigenräume mit verschiedenen eigenwerten muss der eigenvektor der nullvektor sein

Im Prinzip richtig. Du mußt es aber etwas anders formulieren, da Eigenvektoren definitionsgemäß nie der Nullvektor sind.

30.07.2010, 10:45

DarthVader

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vielleicht eher so:
beim schnitt von zwei eigenräumen mit verschiednen eigenwerten wird F(X) auf den nullvektor abgebildet

30.07.2010, 10:50

Leopold

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Nein, jetzt wird es wieder schlimmer.

Wir sind von zwei Eigenräumen zu verschiedenen Eigenwerten ausgegangen. Dem Schnitt haben wir ein beliebiges Element entnommen (weil wir ja ein Element gewählt haben, das beiden (!!) Eigenräumen angehört). Und dieses beliebige Element stellte sich im nachhinein als ein ganz besonderes heraus.

Jetzt du. Was haben wir gezeigt?

30.07.2010, 10:54

DarthVader

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ach so wir haben also damit gezeigt, dass es sich bei diesem - belibig gewähltem - Vektor um den Nullvektor handelt. Damit haben wir dann gezeigt, dass sich lediglich der Nullvektor im Schnitt von zwei Eigenräume mit verschiednen Eigenwerten befindet.

30.07.2010, 10:59

Leopold

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... womit dann der Schnitt der Eigenräume gerade der Nullraum ist. Ja.

Ich glaube, jetzt hast du es verstanden. Du solltest nun alles noch einmal haarklein von vorne nach hinten durcharbeiten, damit es sich einprägt.

30.07.2010, 11:03

DarthVader

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danke für deine hilfe und geduld. Gott

werde deinem rat taten folgen lassen Freude

also bis denn dann

30.07.2010, 11:06

Leopold

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Und noch ein Hinweis, damit du an anderer Stelle nicht hereinfällst:

Der hier angewandte Schluß, daß, wenn ein Produkt 0 ist, ein Faktor 0 sein muß, gilt für die skalare Multiplikation, nicht aber für das Skalarprodukt und auch nicht für das Vektorprodukt.

30.07.2010, 11:12

DarthVader

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alles klar, danke...dazu kommen in der hausarbeit später nämlich auch noch aufgaben.

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