Fouriertransformierte und ihre Ableitung

31.07.2010, 17:13	VonRauscher	Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformierte und ihre Ableitung Hallo liebe Leser. Ich frage mich, wie man die Ableitung der Fouriertransformierten berechnet, hier ist eine Herleitung $\begin{eqnarray} http: //mathworld.wolfram.com/FourierTransform .html \end{eqnarray}$ Warum gilt zwischen 40 und 41 dies: The first term consists of an oscillating function times f(x). But if the function is bounded so that $\begin{eqnarray} \lim_{x->\pm \infty} f(x)=0 \end{eqnarray}$ Die Limesabschätzung kann ich nicht nachvollziehen, warum f an dem Rand sozusagen verschwindet. Die Limesabschätzung wird doch vorausgesetzt, oder irre ich mich da? Wie muss ich das interpretieren? f ist an den Stellen bei plus-minus-unendlich gleich 0? Auch in anderen Herleitungen wird diese Limesvoraussetzung gemacht, kann mir jemand erklären, warum die Funktion f dort verschwinden soll? Danke, VonRauscher
31.07.2010, 17:32	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist wahr, dass die Fouriertransformation (in der Form!) nur auf integrierbaren Funktionen definiert ist, d.h. $\begin{eqnarray} \int \|f(x)\| dx < \infty \end{eqnarray}$ Daraus folgt aber nicht $\begin{eqnarray} \lim_{x\to \pm \infty} f(x)=0 \end{eqnarray}$ Betrachte z.B. $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases}<br /> 1 & x\in\mathbb{Q}\\<br /> 0 & x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\end{cases} \end{eqnarray}$ Offenbar ist $\begin{eqnarray} \int \|f(x)\|dx = 0 < \infty \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} \lim_{x\to \pm \infty} f(x) \end{eqnarray}$ existiert nicht. Für stetige Funktionen (relevante Signale) muss dies aber gelten, sonst würde das Integral schon nicht mehr existieren. Das ist hier gemeint.

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