Abbildungsmatrix von Ableitungsabbildung |
| 31.07.2010, 17:52 | Hubba | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Abbildungsmatrix von Ableitungsabbildung Hallo, die Aufgabe lautet: Betrachten Sie den von f1 : x -> 1, f2 : x -> sin(x), und f3 : x -> cos(x) erzeugten Untervektorraum V von [latex]\mathbb R ^\mathbb R[\latex] . Es bezeichne die phi : V -> V, f -> f' Ableitung, d.h. phi(sin(x)) = cos(x) und phi(cos(x)) = -sin(x). Dazu soll das charakteristische und das Minimalpolynom, sowie Eigenwerte und Basen der Eigenräume bestimmt werden. Meine Ideen: Dazu brauche ich doch erstmal die Abbildungsmatrix, oder? Nur da haperts bei mir. Wie sieht denn die Abbildungsmatrix von phi aus? Ich dachte mir ungefähr so: [latex]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ cos(x) & cos(x) & cos(x) \\ -sin(x) & -sin(x) & -sin(x) \end{pmatrix}[\latex] Das charakteristische Polynom davon ist ja dann: (Y * (Y - cos(x) * (Y + sin(x))) - (Y * sin(x) * (-cos(x))) Un da komme ich jetzt nicht weiter. Löst sich sin und cos da jetzt irgendwie auf? Letztlich das charakteristische Polynom soll X*(X^2+1) sein (auch gleich dem Minimalpolynom). |
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| 31.07.2010, 17:55 | Shortstop | Auf diesen Beitrag antworten » |
6 Threads weiter unten. |
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| 31.07.2010, 17:57 | Farmosch | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ersmal: Charakteristisches Polynom einer Abbildung 
Also ich hab das so verstanden, du hast ja f1, f2, f3 als Basis des UR. Und du hast ja f(1), f(cosx), f(sinx) gegeben. Also nimmst du f '1 = 0 und stellst das als LK von f1,f2,f3 dar, was 0 0 0 entspricht, also der ersten Spalte der Abbildungsmatrix. f '2 = cos x, also LK von 0 *f 1 + 0 * f2 + 1*f3 also 0 0 1 als zweite spalte. f ' 3 = -sin x = 0 * f1 + (-1) * f2 + 0* f3 -> 0 -1 0 als dritte Spalte der Abbildungsmatrix. Damit hast du als Abbildungsmatrix. Daraus kannst dann weiterrechnen
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| 31.07.2010, 18:10 | Hubba | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, danke. Meine Verwirrung hat sich schon aufgelöst. Ich kam eh nicht mit dem Latex-Editor hier klar... |
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