Ganzrationale Funktion(nullstellen, symmetrie, term erstellen)

31.07.2010, 19:13

schlumpfer

Ganzrationale Funktion(nullstellen, symmetrie, term erstellen)

Aufgabe 1:
Gegeben sind die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_{1}(x)=x^{4}-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{2}(x)=4x^{3}-16x^{2}+9x+9 \end{eqnarray*}$ .
Bestimme die Nullstellen der Funktion und zerlege den Funkionsterm in Faktoren.
Skizziere den Verlauf des Graphen von $\begin{eqnarray*} f_{2} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 2:
Gib je einen Möglichen Funktionsterm für die funktion f an:
a) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades und hat drei Nullstellen.
b) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ st eine ganzrationale Funktion 3. Grades und hat genau 2 Nullstellen.
c) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine ganzrationale Funktion 5. Grades und hat genau 3 Nullstellen.
d) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades und hat nur 2 und -3 als Nullstelle.

Aufgabe 3:
Bestimme das Symmetrieverhalten folgender Funktionen: ( mit Begründung!)
a) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac {x^3}{x+2} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac {x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 4:

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt {x-2} , x\geq 2 \end{eqnarray*}$
Bestimme die Gleichung der linearen Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(3) = f(3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(6) = f(6) \end{eqnarray*}$

Hier meine Lösungsansätze:
Aufgabe 1:

$\begin{eqnarray*} f_{1}(x)=x^{4}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1= -1 \quad \vee \quad x_2= 1 \end{eqnarray*}$
Das kann ich so aus der Gleichung entnehmen.

$\begin{eqnarray*} f_{2}(x)=4x^{3}-16x^{2}+9x+9 \end{eqnarray*}$
Durch ausprobieren erhalte ich $\begin{eqnarray*} x_1=3 \end{eqnarray*}$
Dann kann ich ja die Polynomdivision durchführen:
$\begin{eqnarray*} (4x^{3}-16x^{2}+9x+9) : (x-3) =4x^{2}-4x-3 \end{eqnarray*}$

-> abc formel: $\begin{eqnarray*} x_2= 4+\frac {\sqrt {64}} {8} \quad \vee \quad x_3= 4-\frac {\sqrt{64}} {8} \end{eqnarray*}$
Sind die Nullstellen x2 und x3 richtig?

Problem ist, dass ich nicht weiß, nach welchen Kriterien ich den Graph zeichnen muss, noch stimmen die von mir ausgerechneten Nullstellen mit dem geplotteten Graphen überein unglücklich

Aufgabe 2:
Ich verstehe die Aufgabe, allerdings weiß ich nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll...

Aufgabe 3:

Ist f(-x)=f(x) , dann ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
Ist f(-x)=-f(x) , dann ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Hier fange ich mit b) an:
$\begin{eqnarray*} f(-x)=\frac {(-x)}{(-x)^2+1} = -\frac {x}{x^2+1} = -f(x) \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: der Graph ist ungerade und Punktsymmetrisch zum Ursprung.

a)
$\begin{eqnarray*} f(-x)=\frac {(-x)^3}{(-x)+2} \not= \frac {x^3}{x+2} =f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-x)=\frac {(-x)^3}{(-x)+2} \not= -\frac {x^3}{x+2} = -f(x) \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: der Graph ist weder grade noch ungerade.
Sind die Begründungen korrekt?

Aufgabe 4:
Hier weß ich überhaupt nicht was ich machen soll.

Vielen Dank im Vorraus.

31.07.2010, 19:29

Equester

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