Die arithmetische Summe und der Würfel

01.08.2010, 13:20	Katte	Auf diesen Beitrag antworten »
Die arithmetische Summe und der Würfel Meine Frage: Hallo zusammen. Ich sitze hier in meinem Wohnzimmer über meinem Mathe Buch und werde dieser speziellen Summe einfach nicht herr. Hier einmal die Aufgabe: Gesucht ist der Erwartungswert eines einfachen Würfelwurfs. dabei steht als Lösungsweg beschrieben: 1/6 * [6(6+1)/2]= 7/2 = 3,5 Somit erhalten wir einen Erwartungswert von 3,5. Angewandt wurde in diesem fall die Regel/Form der arithmetischen Summe. Meine Schwierigkeiten bestehen nun darin das ich noch nicht begreife, wann ich dieses arithmetische Summenregel anwenden darf. Meine Ideen:* Im Buch steht: "Sind alle ai gleich Ihrem Index i, d.h. gilt ai=i für jedes i, lässt sich die Summe schreiben als n(n+1)/2". Bedeutet dies nun diese Regel findet hier Verwendung weil jede Seite die Selbe Chance hat aufzutauchen, also jeweils dich Chance 1/6 eines Würfelwurfs zu haben?? ai=pi*xi=1/6 wobei jedes i die Wahrscheinlichkeit hat zu 1/6 aufzutreten? Ich hoffe Ihr könnt mir in diesem Fall auf verständliche Art und Weiße weiterhelfen. Mit freundlichen Grüßen Katte
01.08.2010, 13:56	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Die arithmetische Summe und der Würfel Es kommen hier zwei Dinge zusammen: (1) Alle Würfelseiten haben die gleiche Wahrscheinlichkeit (2) Die Würfelseiten sind fortlaufend von 1 bis 6 beschriftet. Es ist aber nicht zweckmäßig, sich diesen Spezialfall zu merken. Besser ist es, sich die allgemeine Formel zu merken. Dann merkt man schon, wann sich in Spezialfällen Vereinfachungen ergeben. Sei eine diskrete Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gegeben, die die Werte $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ mit der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ annimmt. Dann ist der Erwartungswert von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gegeben durch: $\begin{eqnarray} E(X)=\sum_{i=1}^n p_ix_i \end{eqnarray}$ Das solltest du dir merken. Hat man eine Laplace-Wahrscheinlichkeit, d. h. sind alle Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ gleich, also $\begin{eqnarray} p_i = 1/n \end{eqnarray}$ , vereinfacht sich das zu: $\begin{eqnarray} E(X)=\sum_{i=1}^n p_ix_i=\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}x_i =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \end{eqnarray}$ Ist dann noch, wie beim Würfel $\begin{eqnarray} x_i=i \end{eqnarray}$ , hat man: $\begin{eqnarray} E(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i \end{eqnarray}$ Jetzt bildet die Summe eine arithmetische Reihe, deren Formel du anwenden kannst. $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ In diesem Spezialfall hat man daher $\begin{eqnarray} E(X)=\frac{1}{n}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2} \end{eqnarray}$ Beim Würfel mit n = 6 gibt das dann $\begin{eqnarray} E(X)= 3,5 \end{eqnarray}$

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