Zwei isomorphe Ringe

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thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei isomorphe Ringe
Hallo,

kann mir jemand sagen warum folgende Isomorphie gilt:



Dabei ist übrigens der Ring der Gauß'schen Zahlen.

MfG
Thorsten
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Sollte das nicht vielleicht



heissen?

Wenn ja, dann könntest du dir mal den Homomorphismus anschauen, welcher durch



gegeben ist. Wink
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke für deine Antwort. Ich habe mich nicht vertippt: Es heisst und nicht .

Wie kann man nun eine geeignete bijektive Abbildung definieren?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

O.k.

Berechne in diesem Falle doch einmal ! Augenzwinkern

Gruss, g'phd.

Edit: Wobei ich da vielleicht etwas vorschnell war... Sorry, das bringt glaube ich nicht so viel?!
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm,

also dann schauen wir uns das mal genauer an:

Wenn wir einen Homomorphismus (Edit: eigentlich können wir gleich einen möglichen Isomorphismus betrachten! Nehmen wir also einfach alles modulo pZ[i]...), wie von mir beschrieben, definieren wollen, dann muss



sein. Und deshalb:

Aber daraus folgt nun, a oder b = 0. Und da diese Abbildung ja surjektiv sein sollte, muss gezwungenermassen a=0 sein, sowie

Ist vielleicht noch gegeben, dass ?
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte mir den Beweis zu dem Satz angucken, dass für eine Primzahl das Ideal genau dann ein Primideal in ist, wenn gilt.
Und da blieb ich eben hängen bei dem angegebenen Isomorphismus

,

den der Autor nicht näher begründet hat.

... wobei ich mir auch nicht mehr so sicher bin, ob es nicht doch heissen müsste.
 
 
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich glaube, jetzt hab ich's. Die beiden Ringe sind halt nicht isomorph...

Denn wenn ich vorhin mit meiner Idee nicht falsch gelegen bin, dann sollte



gelten. Würde nun auch noch die andere Isomorphie richtig sein, so müsste doch




also insbesondere




für ein Polynom aus . Daraus folgt dann jedoch für n>0 aus Gradgründen. Und somit müsste sein, was offensichtlich nicht möglich ist.

Stimmst du hier mit mir überein? Bin irgendwie nicht so sicher, grad.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei halt, wenn gilt, dann gibt es ein Element mit . Deshalb meine Verunsicherung...

Nachtrag: Ich hab's jetzt mal durchgerechnet und



sollte stimmen. Damit sollte auch meine Argumentation von oben richtig sein.

smile
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich bin mir jetzt auch sicher, dass das Minus ein Druckfehler ist. Ich hab nämlich in einem anderen Buch nachgeguckt, wo der selbe Satz mit dem nahezu selben Beweis bewiesen wurde und dort wird das Polynom aus herausgeteilt.

Gut, dann ist ja alles geklärt. Mich hat dieses Minus halt total verunsichert :-D (noch dazu müsste so ein Fehler bei der 5. Auflage schon längst korrigiert worden sein)

Danke für deine Hilfe nochmals!

Ciao,
Thorsten
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Okee, dann ist ja alles gut! Big Laugh

Viel Spass noch beim Beweis. Augenzwinkern

Gruss.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich Ich wollte nur noch anmerken: Was ich oben geschrieben habe, ist (teilweise) Schwachsinn... Nicht mein Tag. Hammer

Zitat:
Würde nun auch noch die andere Isomorphie richtig sein, so müsste doch




Dies scheint zum Beispiel nicht zu stimmen. Ich versuch's jetzt nochmal richtig:

Zitat:
Wobei halt, wenn gilt, dann gibt es ein Element mit . Deshalb meine Verunsicherung...


Hier hätte ich anknüpfen sollen. Definiere



wobei wie oben sein soll. Dann ist ein Erzeugendensystem von - also ist surjektiv - und da multiplikativ die Ordnung 4 hat, ist auch wohldefiniert.

Weiterhin gilt:

Also stimmt die Isomorphie von oben doch.

Dadurch lässt sich auch

Zitat:
(noch dazu müsste so ein Fehler bei der 5. Auflage schon längst korrigiert worden sein)


erklären... Tut mir wirklich Leid für die ganze Verwirrung! Hammer

Zu müde Grüsse, g'phd. smile
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