Exponentialverteilung - Erwartungswert?

02.08.2010, 15:52	FreunDerSonne	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialverteilung - Erwartungswert? Meine Frage: Hallo, ich hänge gerade an folgender Aufgabe: Das Sicherheitspersonal kontrolliert Pasagiere am Flughafen. Dabei wird zunäachst eine Personen- und anschließend (sofern der Passagier mit Gepäck reist) eine Gepäckkontrolle durchgeführt. Die mittlere Zeit der Personenkontrolle beträgt 2, die der Gepäckkontrolle noch einmal 12 Minuten. Diese Zeiten können jeweils als exponentialverteilt angenommen werden. 50% aller Passagiere reisen mit Gepäck. Ein Passagier muss dringend seinen Flug erreichen, er muss jedoch noch durch die Sicherheitskontrolle, es ist noch ein Passagier vor ihm. Wie lange muss er im Mittel warten, bis die Sicherheitskontrolle für den Passagier vor ihm abgeschlossen ist und er an der Reihe ist? Es ist unbekannt, ob der Passagier vor ihm mit oder ohne Gepäck reist. Meine Ideen: Ich habe leider bisher noch keine Exponentialverteilung gehabt, mich aber im Web schon etwas eingelsen und ich glaube, der Wert den ich hier brauche, ist der Erwartungswert (vielleicht liege ich aber auch falsch). Ich hab eine Formel gefunden, mit der man im Rahmen der Exponentialverteilung Wahrscheinlichkeiten ausrechnen kann: $\begin{eqnarray} f(x)= 1- e^{-\lambda x} \end{eqnarray}$ Da mir ja die Wahrscheinlichkeit für ein Auftreten des Ereignisses bekannt ist (50%) dachte ich, dass man die Gleichung dann einfach nach Lambda auflöst und auf Basis dessen den Erwartungswert $\begin{eqnarray} 1/\lambda \end{eqnarray}$ errechnet. Aber irgendwie werde ich daraus nicht ganz schlau. Ach, ja und die Lösung ((14+2) /2 =8 fand ich irgendwie zu einfach..) Vielleicht kann mir ja hier noch jemand helfen. Danke schonmal im Voraus
02.08.2010, 19:13	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialverteilung - Erwartungswert? Erwartungswert ist das richtige Stichwort. Die gesamte Wartezeit $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ist die Summe der einzelnen Wartezeiten $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y=X_1+X_2 \end{eqnarray}$ und gesucht ist der Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(Y) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Nun hat der Erwartungswert die schöne Eigenschaft linear zu sein, d. h. $\begin{eqnarray} E(Y)=E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2) \end{eqnarray}$ Deshalb ist deine einfache Rechnung richtig. Die Verteilungen von $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ spielen dabei gar keine Rolle.
02.08.2010, 20:32	FreunDerSonne	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh wenn die Lösung stimmt dann ist das ja einfacher als ich dachte...das Wort "exponentialverteilt" hatte mich nur aufhorchen lassen Danke!
02.08.2010, 20:36	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mich hat diese Information auch gewundert. Vielleicht wird sie ja in einem anderen Teil der Aufgabe gebraucht.

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