Flächenintegration am Bsp. vom Deviationsmoment

02.08.2010, 21:11	lisa-	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenintegration am Bsp. vom Deviationsmoment Hallo Leute, ich möchte ein Flächenintergral ausrechnen, komme jedoch nicht auf die gewünschte Lösung. Das Beispiel lautet wiefolgt: Ich habe eine rechteckige Fläche, die x lang und y breit ist. Davon möchte ich nun Das Deviationsmoment ausrechnen. Die Gleichung dazu lautet: $\begin{eqnarray} I_{yx} = - \int_A \! yz \, dA \end{eqnarray}$ Ich ersetze zunächst $\begin{eqnarray} dA= dxdy \end{eqnarray}$ . Wenn ich dann jeweils intergriere erhalte ich -[(1/4)x²y²], was aber falsch ist, da -[xy*A] rauskommen muss. Wie integriert man das richtig? Gruß Lisa edit(Abakus): Latex-Klammern
03.08.2010, 00:06	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächenintegration am Bsp. vom Deviationsmoment Hallo! Es bleiben für mich einige Fragen unklar: wo liegt genau deine Fläche, in der xy-Ebene? Was bedeutet dann das z im Integranden, wäre das hier nicht gleich 0 dann? Das A soll die Fläche bedeuten? Grüße Abakus PS: die Latex-Klammern kriegst du zB, wenn du deine Formel markierst und dann auf den Button mit f(x) klickst
03.08.2010, 09:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus physikalischer Sicht hast du innerhalb der xy-Ebene eine rechteckige Platte der Länge x und Breite y mit der Flächendichte $\begin{eqnarray} \rho=1 \end{eqnarray}$ . Wie alle Körper hat auch diese Platte ein Trägheitsmoment. Falls nötig, schau mal unter WIKIPEDIA nach, was "Trägheitstensor" und "Deviationmoment" bedeuten! Deviationsmomente sind ein Maß dafür, ob der Körper bei Rotation "rund läuft" oder "ausgewuchtet" ist (wie bei einer Wäscheschleuder, wenn man die Wäsche gleichmäßig oder ungleichmäßig verteilt). Im ersten Fall verschwinden die Deviationsmonente, im 2.Fall nicht. Bei deiner Aufgabe ist entscheidend, WO sich die Platte innerhalb der xy-Ebene befindet (also wo die Integrationsgrenzen sind). Wenn sich die Platte um eine Ecke dreht, die sich im Ursprung (0,0) befindet, wobei die z-Achse die Drehachse ist, dann ist die Platte natürlich nicht ausgewuchtet und das entsprechende Deviationsmoment lautet $\begin{eqnarray} I_{xy}=\int_0^x \int_0^y\! xy \, dxdx =\frac{1}{4}x^2y^2=\frac{1}{4}xyA \end{eqnarray}$ Dreht sich die Platte dagegen um ihr Zentrum, das im Ursprung (0;0) liegt, dann ist die Platte ausgewuchtet und "läuft rund". In diesem Falle verschwindet das entsprechende Deviationsmoment $\begin{eqnarray} I_{xy}=\int_{-x/2}^{+x/2} \int_{-y/2}^{+y/2}\! xy \, dxdx =0 \end{eqnarray}$ Wesendlich ist, dass man je nach Lage der Platte (also je nach Wahl der Integrationsgrenzen) verschiedene Ergebnisse bekommt. Man kann beliebig komplizierte Körper stets so in das Koordinatensystem legen, dass alle Deviationsmomente verschwinden und nur die 3 Hauptträgheitsmomente in der Diagonalen der Matrix des Trägheitstensors übrig bleiben. P.S. Ich nehme an, dass es sich um einen Schreibfehler handelt, wenn du im Integral die Variable z schreibst.
03.08.2010, 21:46	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke an Ehos für die Richtigstellung . Hier sieht man, dass ggf. ein kleiner Schreibfehler in einer Aufgabe schon dazu führen kann, dass diese völlig auf den Kopf gestellt wird (hier insbesondere für Nichtphysiker). Eine Sache dazu: statt dx * dx müsste es dx * dy heißen ? Grüße Abakus
04.08.2010, 08:43	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Abakus Stimmt. Das war ein Schreibfehler.

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