Zwei stetige Funktionen schneiden sich

03.08.2010, 01:01

martha.1981

Zwei stetige Funktionen schneiden sich

Hallo, ich soll folgendes zeigen:

Seien $\begin{eqnarray*} f,g\in C([0,1],\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(i) Gilt $\begin{eqnarray*} g(0)\leq f(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1)\leq g(1) \end{eqnarray*}$ , so ex. ein $\begin{eqnarray*} \xi\in[0,1] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\xi)=g(\xi) \end{eqnarray*}$ .

(ii) später Augenzwinkern

(i) Ich weiß nicht ob das so genügend präzise ist, denn anschaulich ist es klar und das ist immer gefärlich bei mir.

Also ich bin so vorgegangen: Für den Fall, dass $\begin{eqnarray*} g(0)= f(0) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(1)= g(1) \end{eqnarray*}$ ist alles klar.

Betrachte noch den Fall $\begin{eqnarray*} g(0)< f(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1)< g(1) \end{eqnarray*}$ .

Nehme an, $\begin{eqnarray*} \forall \xi\in [0,1]:f(\xi)\neq g(\xi) \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} g(0)< f(0) \end{eqnarray*}$ und da f,g stetig sind folgt damit induktiv für alle $\begin{eqnarray*} \xi > 0 : g(\xi)< f(\xi) \end{eqnarray*}$ . Dann wäre insbesondere $\begin{eqnarray*} g(1)< f(1) \end{eqnarray*}$ und das ist ein Widerspruch.

Also folgt die Behauptung.

Ist das so formal okay?

Liebes Grüßchen,

marthuschka

03.08.2010, 01:43

frank09

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Zitat:

Es ist $\begin{eqnarray*} g(0)< f(0) \end{eqnarray*}$ und da f,g stetig sind folgt damit induktiv für alle $\begin{eqnarray*} \xi > 0 : g(\xi)< f(\xi) \end{eqnarray*}$

Wieso das? Aus g(0)<f(0) folgt doch nicht g(0,5)<f(0,5)?

Versuchs mal mit dem Zwischenwertsatz und der Hilfsfunktion h(x)=f(x)-g(x).

03.08.2010, 01:53

Bjoern1982

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Zitat:

Wieso das? Aus g(0)<f(0) folgt doch nicht g(0,5)<f(0,5)?

Daraus sicher nicht, sie meinte es wohl eher darauf bezogen:

Zitat:

Nehme an, $\begin{eqnarray*} \forall \xi\in [0,1]:f(\xi)\neq g(\xi) \end{eqnarray*}$ .

Also unter der Annahme, dass es keine gemeinsamen Punkte in [0;1] gibt und somit die Lage der beiden Graphen von f und g hier immer gleich ist (Graph von g verläuft immer unterhalb vom Graphen von f)

03.08.2010, 02:05

frank09

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Zitat:

Genau das soll ja bewiesen werden, dass ein "Lagetausch" von oben nach unten nicht ohne Schnitt möglich ist.

03.08.2010, 02:26

Bjoern1982

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Mir ist das soweit klar Augenzwinkern

Ich wollte nur den Gedankengang der Fragestellerin versuchen darzustellen, welche offenbar den Weg über einen indirekten Beweis gehen wollte, ihr Argument aber im Endeffekt das ist, was eigentlich zu zeigen ist.

03.08.2010, 12:49

Gastmathematiker

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RE: Zwei stetige Funktionen schneiden sich

Zitat:

Original von martha.1981
Es ist $\begin{eqnarray*} g(0)< f(0) \end{eqnarray*}$ und da f,g stetig sind folgt damit induktiv für alle $\begin{eqnarray*} \xi > 0 : g(\xi)< f(\xi) \end{eqnarray*}$ . Dann wäre insbesondere $\begin{eqnarray*} g(1)< f(1) \end{eqnarray*}$ und das ist ein Widerspruch.

Mal allgemein, du kannst keine Induktion auf den reellen Zahlen ausführen.

Die Lösung liegt im Zwischenwertsatz, was hier ja bereits gesagt wurde.

03.08.2010, 14:06

martha.1981

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Vielen vielen Dank für die schnellen vielen tollen Antworten.

Ja klar, das dacht ich mit schon: Wenn ich sage, "die liegen dann ja alle unterhalb der Graphe", nehme ich schon an, dass sie sich schneiden müssten, wollten "sie darüber liegen". naja, wie dem auch sei.

Das mit der Hilfsfunktion ist natürlich dann letzt einfach. Sei $\begin{eqnarray*} h(x):=f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} h(0)=f(0)-g(0)>0, h(1)=f(1)-g(0)<0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt der Zwischenwertsatz und für z=0 zwischen h(0) und h(1) ex $\begin{eqnarray*} \xi\in [0,1] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h(\xi)=f(\xi)-g(\xi)=0 \end{eqnarray*}$ und damit die Behauptung.

Danke! Gott

Und zur zweiten Aufgabe: Die ist dann mit der (i) auch ganz schnell gemacht: Der wenn $\begin{eqnarray*} f([0,1])\subset[0,1] \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(1)\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0)\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} g(\xi):=\xi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \xi\in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Damit gilt (i) und somit $\begin{eqnarray*} \exists \xi : f(\xi)=g(\xi)=\xi \end{eqnarray*}$

ich hoffe ich krieg ein kleines lob Engel

Grüßle,

Die junge M

03.08.2010, 15:28

Gastmathematiker

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Der erste Teil ist in Ordnung, was aber ist der zweite Teil?????

03.08.2010, 22:21

frank09

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Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} g(\xi):=\xi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \xi\in [0,1] \end{eqnarray*}$

Für ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ oder für jedes $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ?

Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=0,8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=0,5 \end{eqnarray*}$ gibt es kein $\begin{eqnarray*} f(\xi)=g(\xi)=\xi \end{eqnarray*}$

04.08.2010, 00:52

martha.1981

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Ui, hab ich die Behauptung vergessen:

$\begin{eqnarray*} f\in C([0,1],\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ . Zeige
$\begin{eqnarray*} f([0,1])\subset [0,1] \end{eqnarray*}$ , so gibt es ein $\begin{eqnarray*} \xi\in [0,1] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\xi)=\xi \end{eqnarray*}$ .

04.08.2010, 12:48

tmo

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Dein Beweis dafür ist korrekt. Ich würde das allerdings so hinschreiben:

Definiere $\begin{eqnarray*} g: [0,1] \mapsto [0,1], g(x):=x \end{eqnarray*}$ und wende dann auf f und g Teil (i) an. Fertig.

Natürlich dann noch kurz begründen, dass die Vorraussetzungen für (i) erfüllt sind, was du ja auch schon gemacht hast.

04.08.2010, 14:15

martha.1981

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Vielen Dank für die Hilfe. smile

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