Probleme: Determinante berechnen + Diagonalisieren (Ein Beispiel) |
| 03.08.2010, 11:37 | mso321 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| Probleme: Determinante berechnen + Diagonalisieren (Ein Beispiel) ich habe ein Beispiel vorliegen einer Determinantenberechnung. Das Grundverfahren so denke ich, ist mir klar, einige Fragen gibt es zu meinem Beispiel jedoch... Die Aufgabe: det Daraus wird dann: Ganz zum Schluss wird die Matrix diagonalisiert auf: Meine Fragen: 1. Wohin verschwindet die -3 im vorletzten Schritt? Vorher komme ich mit dem Gauss Algo. zurrecht, hier aber nicht mehr ... . Kann mir nicht erklaeren wo die hin geht. 2. Darf man auch Spalten voneinander abziehen? Hab da mal was von gehoert ... . Wenn ja wie funkzt das genau? 3. Angenommen ich haette vor einer det durch z.B. einen Zeilentausch ein (-1) davor stehen. Muss ich dann in der gesamten Matrix das vorzeichen umdrehen? Oder reicht es nur das Endergebnis zu drehen? Sprich hier -20 auf +20 zu bringen? Danke Euch allen! |
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| 03.08.2010, 11:49 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
RE: Probleme: Determinante berechnen + Diagonalisieren (Ein Beispiel)
Addiere das -3/20 der 3. Zeile zur 2. Zeile. 
Ja. Und es funktioniert genauso wie bei Zeilenumformungen.
Nein, nur das Vorzeichen der Determinante. Die -1 steht schließlich vor dem det(...) . |
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| 03.08.2010, 14:44 | mso321 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Zu 1:
Du meintest damit sicher Spalte oder? Weil bei mir -3/20 nicht in der 3.Zeile vorkommen (oder mach ich nen Denkfehler) Also dass Du von der 3. Spalte (-3)x die 2. abziehst meinstes Du doch, oder nicht? Zu 2: Ich beziehe mich erstmal nur auf Vorgehensweisen in Determinanteberechnung: Das heisst, dass ich alle Berechnungen die ich bei der Determinanten Gaussrechnung pro Zeile durchfuehren kann, auch auf Spalten anwenden darf? Also eine Spalte mit einer anderen Multiplizieren und addieren, eine Spalte mal (-1) und eine Spalte vertauschen? Gilt hier das gleich wie bei Zeilen, dass ich die Det dann auch z.B. -1 nehmen muss oder mit der Zahl multiplizieren muss? Darf ich das mit den Spalten addieren/multiplizieren/vertauschen nur bei einer Determinantenberechnung oder auch bei Gauss? Weil mir das neu waere ^^. Neu entstandene Frage: 4. angenommen ich moechte moeglichst schnell eine Determinante berechnen, so gibt es doch einmal das Verfahren wie oben aufgefuehrt, andererseits aber die Cramersche Regel. 4.1 Gibt es noch andere Verfahren? 4.2 Welches nutze ich wann? 5. Kann mir jemand anschaulich erklaeren was genau ich mit einer Determinante berechne und warum ich das tue ^^? Danke |
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| 03.08.2010, 15:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Nein, ich meine Zeile. Leider war mein Satz etwas unvollständig. Also nochmal: Addiere das der 3. Zeile zur 2. Zeile.
Ja.
Nur bei der Determinantenberechnung.
Nach meinem Verständnis beschreibt die Cramersche Regel kein Verfahren zur Determinantenberechnung. Neben der Vereinfachung der Matrix durch geeignete Umformungen kann man auch den Entwicklungssatz von Laplace verwenden. Bei 3x3-Matrizen gibt es noch die Sarrus-Regel.
Spätestens mit dieser tiefgründigen Frage verlassen wir so langsam den Bereich der Schulmathematik. Zunächst einmal ist die Determinante einfach nur eine Zahl. Ist diese nicht Null, dann kann man die Matrix invertieren. Das zugehörige lineare Gleichungssystem ist dann eindeutig lösbar. |
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| 03.08.2010, 15:12 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Sofern es sich um einen Körper handelt
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| 03.08.2010, 17:22 | mso321 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| RE: Probleme: Determinante berechnen + Diagonalisieren (Ein Beispiel) ok, soweit verstanden. Erstmal vielen Dank. Eine letzte Frage noch: Wenn Du nun die Wahl haettest zwischen Sarrus und die Determinante mit Gauss zu bestimmen, wann entscheidest Du Dich fuer welches Verfahren? Funktionieren beide immer? |
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| 03.08.2010, 17:23 | Stefan03 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Sarrus funktioniert NUR bei 3x3 Matrizen, Gauß immer. |
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| 03.08.2010, 17:42 | mso321 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
nur Sarrus scheint mir mehr Rechenaufwand zu sein ... wenn ich explizit eine 3x3 vor mir habe |
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| 03.08.2010, 17:47 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Naja kommt drauf an. Mit geübtem Blick kann man bei einer solchen Matrix wie oben direkt eigentlich schon die Sarrusschritte im Kopf durchgehen (oder von mir aus auch kurz aufschreiben). In der Zeit wo man dann erstmal die ganzen Nullen mit Gauß erzeugt hat man mit etwas Übung meist schon längst die Determinante mit Sarrus raus. |
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| 03.08.2010, 18:01 | mso321 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
ja das mag wohl sein, nur mit Sarrus, hab ich dann oft so was wie drei Klammern in einer einzigen Addition, wo ich dann tw. auch schon durch das multiplizieren etliche hochzahlen bekomme. Also schnell wuerde ich das nicht nennen. Ich sehe hier eher sehr die Gefahr sich schnell mal zu verrechnen mit nem Vorzeichen. Wahrscheinlich liegt es aber auch an mir das ich nicht gerne Kopfrechnen mache ^^ |
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| 03.08.2010, 18:02 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Ist halt Geschmacksache, mach es so wie es für dich am Leichtesten ist 
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