Verschoben! Bogenlänge |
| 03.08.2010, 13:14 | mara0902 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Bogenlänge Bogenlänge Bestimmen Sie näherungsweise bzw. machen Sie eine Abschätzung der Bogenlänge von Schaubildern einfacher Funktionen. Leiten Sie die Formel für die Länge eines Bogenstücks her. Bestimmen Sie die Bogenlänge bekannter Graphen. (GTR) Finden Sie eine stetige Funktion f mit kürzester Bogenlänge, die folgende Bedingungen erfüllt: • a) f(x)>=0 für 0 <=x<=1 • b) f(0)=0 und f(1)=0 • c) Der Inhalt der Fläche unter dem Graph zwischen 0 und 1 soll 1 sein. Stelen Sie eine Ortskurve der Bogenlänge auf. Sind Auffälligkeiten zu finden? Wie ist der Bezug zur Mantelfläche eines Rotationskörpers? -> siehe GFS Mantelfläche für den ersten teil mit dem näherungsweise bestimmen/abschätzen hab ich angefangen einfache funktionen wie wurzel x und x² zu zeichnen und dort steigungsdreiecke eingezeichnet. um so auf die länge des gewünschten stückes (bogenlänge) zu kommen. ich hoffe der ansatz war schonmal nicht komplett falsch... die formel für die bogenlänge müsste laut internet: Integral: Wurzel: 1+(f'(x))² dx sein (leider weiß ich noch nicht wie ich formeln am pc tippe, sorry^^ und als ich mit der formel die parabel überprüft hab, kam fast der gleiche wert raus wi emit den dreiecken. Danke schonmal für eure hilfe, weiß echt nichtmehr was ich machen soll.. |
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| 03.08.2010, 13:18 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bogenlänge deine formel sollte stimmen 
zu f(x): was ist den die kürzeste verbindung 2er punkte 
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| 03.08.2010, 13:28 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Bogenlänge
Diese kürzeste Verbindung erfüllt allerdings nicht die Bedingung c).
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| 03.08.2010, 14:34 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Bogenlänge
korrekt, das habe ich übersehen |
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| 03.08.2010, 16:10 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bogenlänge Bezüglich der gesuchten Funktion siehe: Umfang minimierende Funktion |
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| 03.08.2010, 16:55 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bogenlänge möglicherweise auch eine ellipse
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| 03.08.2010, 17:05 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bogenlänge Ja, das könnte sein. Der Kreisbogen ist es jedenfalls nicht. 
Denn der Durchmesser des zugehörigen Kreises müsste ja größer 1 sein. Und dann geht der Kreisbogen über das Intervall [0,1] hinaus. |
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| 03.08.2010, 18:38 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Bogenlänge
die "kreisliche" lösung wäre vermutlich diese @huggy, gibt es da literatur dazu (umfang minimierende funktion)
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| 03.08.2010, 20:12 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Bogenlänge
Ja. Nur ist mir zunächst nicht aufgefallen, dass bei den gegebenen Daten der Kreisbogen über das Intervall [0, 1] hinausgeht.
Die Frage, welche ebene Figur bei gegebener Fläche den kleinsten Umfang hat, oder gleichwertig, bei gegebenem Umfang die größte Fläche hat, ist als isoperimetrisches Problem bekannt. Die Lösung, der Kreis, war schon Dido, der sagenhaften Gründerin von Karthago, bekannt. Einen Beweis gab es erst sehr viel später. Als Einstieg kann der Wiki-Artikel dienen: http://de.wikipedia.org/wiki/Isoperimetrisches_Problem |
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| 03.08.2010, 20:57 | axelt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zumindest die Annahme mit dem Kreis als umfangminimierende Begrenzung war also schonmal richtig. Spontan denke ich, dass der Ansatz immer noch der optimale ist. (k habe ich grade nicht mehr im Kopf, war eben eins durch das Integral der Funktion ohne den Faktor k) Mein CAS Rechner hat aber den Geist aufgegeben, deshalb kann ichs nicht mit anderen Funktionen vergleichen. Habt ihr schon irgendwas, dass mit Sicherheit "optimaler" bezüglich der Bogenlänge wäre und die Anforderungen erfüllt? |
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| 03.08.2010, 21:35 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist aber kein Kreis, sondern eine Sinusfunktion. Nach einer Schnellrechnung ist ihre Bogenlänge größer als die der Ellipse von riwe. |
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| 04.08.2010, 11:41 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Bogenlänge
danke schön werner so weit wäre ich
edit: genauer gerechnet |
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| 04.08.2010, 19:59 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bogenlänge Mir deucht allmählich, der Ersteller der Aufgabe ist ein Scherzkeks! Ich biete mal folgende Lösung an: [attach15661[/attach] Der Umfang ist Einwand: Das ist zwar eine stetige Kurve, aber keine stetige Funktion. Antwort: Richtig, lässt sich aber beliebig exakt durch eine stetige Funktion approximieren. |
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| 26.08.2010, 18:09 | mara0902 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen dank schon mal =) hab endlich mein thema wieder gefunden^^ und die aufgabe ist ernst gemeint^^ ist teil meiner gfs über die ferien...aber vielleicht gibt es wirklich keine funktion und das ist die lösung... hab gleich nachhilfe mal sehen was dabei raus kommt =) |
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| 06.09.2010, 17:41 | mara0902 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also es gibt ne gleichung, nur hab sie gerad enicht da. wenn ich wieder zuahus ebin tipp ich sie mal ab =) bin auch so gut wie fertig mit der gfs^^ hat jetzt ja auch lang genug gedauert :P |
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