Kurvenintegral

04.08.2010, 10:58

Physinetz

Kurvenintegral

Hallo,

wollt nur kurz folgende Aufgabe auf Richtigkeit überprüfen lassen..:

Gegeben ist das Vektorfeld:
$\begin{eqnarray*} f_1:\mathbb R ²-->\mathbb R ² \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} -->\begin{pmatrix} -x_2 \\ x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sowie die beiden Kurven:

$\begin{eqnarray*} C_1:[-1,1]-->\mathbb R ²: t-->\begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_2:[0,\pi]-->\mathbb R ²: t-->\begin{pmatrix} -cos(t) \\ sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnen sie zur jeweiligen Kurve das Integral. Warum sind die Ergebnisse unterschiedlich.

Meine Lösung: Also handelt sich ja einmal um einen Halbkreis von -1 nach 1 und einmal um ein Geradenstück auch von -1 nach 1.

Habe heraus:

Kurve 1: $\begin{eqnarray*} \int_{C_1}f(x)\bullet dx = \int_{-1}^1 \! \begin{pmatrix} 0 \\ t \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

Kurve 2: $\begin{eqnarray*} \int_{C_2}f(x)\bullet dx = \int_{0}^\pi \! \begin{pmatrix} -sin(t) \\ -cos(t) \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t) \end{pmatrix} =-\left[t\right]_{0}^{\pi } =-\pi \end{eqnarray*}$

Denke mal das stimmt, jedoch weiß ich leider nicht wieso da etwas anderes rauskommt? Handelt es sich bei dem Vektorfeld eventuell nicht um ein Gradientenfeld?

Vielleicht wär jmd. nochmal so nett, würde die Rechnung kurz überprüfen und mir bei der Frage helfen.
Dankeschön!

sagt Physinetz Gott

04.08.2010, 11:39

bernd

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RE: Kleine Aufgabe Kurvenintegral
Das Feld ist kein Potentialfeld, denn die Ableitung der ersten Komponente nach der zweiten Variablen ergibt -1, während beim Ableiten der zweiten Komponente nach der ersten Variablen 1 herauskommt. Bei einem Potentialfeld müssten beide gleich sein.

04.08.2010, 15:45

Physinetz

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Zitat:

Das Feld ist kein Potentialfeld, denn die Ableitung der ersten Komponente nach der zweiten Variablen ergibt -1, während beim Ableiten der zweiten Komponente nach der ersten Variablen 1 herauskommt. Bei einem Potentialfeld müssten beide gleich sein.

Nein da kommt beides mal Null raus, man muss die beiden Variablen ja jeweils dann als Konstanten sehen und diese fallen ja dann heraus. -- > 0-0

???

04.08.2010, 15:56

Leopold

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Noch einmal genau lesen. Vielleicht erkennst du dann deinen Irrtum.

04.08.2010, 16:48

Physinetz

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ne komm nich drauf...hmm

06.08.2010, 11:55

Physinetz

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könnt mir jmd nochmal auf die Sprünge helfen?

06.08.2010, 12:08

Cel

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RE: Kleine Aufgabe Kurvenintegral

Zitat:

Original von bernd
Das Feld ist kein Potentialfeld, denn die Ableitung der ersten Komponente nach der zweiten Variablen ergibt -1, während beim Ableiten der zweiten Komponente nach der ersten Variablen 1 herauskommt. Bei einem Potentialfeld müssten beide gleich sein.

Na ja. Es ist genau so, wie es hier steht. Die Ableitung der ersten Komponentenfunktion nach der zweiten (!) Variable muss gleich der Ableitung der zweiten Komponentenfunktion nach der ersten (!) Veränderlichen sein.

Es existiert also keine Stammfunktion für dein Feld.

Hier weiteres dazu.

06.08.2010, 12:10

Leopold

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Wo ist denn überhaupt das Problem:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \left( - x_2 \right)}{\partial x_2} = -1 \, , \ \ \frac{\partial x_1}{\partial x_1} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \neq -1 \end{eqnarray*}$

Notwendige Bedingung für ein Potential verletzt.

06.08.2010, 13:09

Physinetz

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oh backe,peinlich :-D
ich hab immer die Komponenten vertauscht, naja kein wunder verwirrt

danke

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Kurvenintegral

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