Transformationsmatrizen für äquivalente Matrizen

04.08.2010, 11:57

gonnabphd

Transformationsmatrizen für äquivalente Matrizen

Hi,

Ich repetiere gerade ein bisschen LinAlg und bin auf die Transformationsmatrizen gestossen.

Da wird ein Verfahren angegeben, um zu gegebenem $\begin{eqnarray*} A \in M(m \times n;K) \end{eqnarray*}$ Matrizen $\begin{eqnarray*} S \in GL(m;K), T \in GL(n;K) \end{eqnarray*}$ zu finden sodass

$\begin{eqnarray*} D = SAT^{-1} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} D = \begin{pmatrix}E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_r \end{eqnarray*}$ eine r-reihige Einheitsmatrix ist. (die Nullen sind dementsprechend als Nullmatrizen zu verstehen)

Nun habe ich mich gefragt, ob es ein effizientes Verfahren gibt, um zu gegebenen, äquivalenten Matrizen - nennen wir sie $\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ - Transformationen zu finden, so dass

$\begin{eqnarray*} B = SAT^{-1} \end{eqnarray*}$

Ein offensichtlicher Algorithmus lässt sich ja leicht angeben, wenn man das oben erwähnte Verfahren zweimal durchführt. Doch ich frage mich, ob man das nicht direkter machen könnte (mit weniger Rechenschritten)? Das heisst ich will nicht unbedingt zweimal auf Diagonalgestalt umformen müssen...

Ich gehe mal davon aus, dass dies unmöglich ist (jedenfalls sehe ich keinen Weg). Weiss da jemand von euch mehr dazu?

Wink

07.08.2010, 01:13

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RE: Transformationsmatrizen für äquivalente Matrizen
Es kann sein, dass es für mich doch zu spät ist und ich übersehe irgendetwas, aber theoretisch hieße das doch:
$\begin{eqnarray*} BT=SA \end{eqnarray*}$
Das hieße, dass A durch Zeilenumformungen und B durch Spaltenumformungen auf eine äquivalente Form gebracht werden müssen. Nun ist die strikte Zeilenstufenform wenn ich mich nicht irre eindeutig und durch Zeilen- oder Spaltenumformungen zu erreichen. Das wäre dann ein gutes Ziel.
Das hieße dann: Zweimal halber Gauß-Algorithmus.

Gruß
MI

07.08.2010, 10:39

gonnabphd

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Hi MI,

Danke für die Antwort.

Zitat:

Nun ist die strikte Zeilenstufenform wenn ich mich nicht irre eindeutig und durch Zeilen- oder Spaltenumformungen zu erreichen.

Was ist die "strikte" Zeilenstufenform? Alle Pivoteinträge = 1?

Wie würde diese Form z.B. für die folgende Matrix aussehen (bzw. ist die schon in der gewünschten Form)?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruss. Wink

07.08.2010, 10:41

Iorek

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Räum in der ersten Zeile den zweiten Eintrag aus, dann hast du SZF.

07.08.2010, 11:19

gonnabphd

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Hmm, ich glaube das klappt nicht so wirklich (oder ich weiss nicht wie):

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 4 & 6 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

durch Zeilenumformungen kommt man auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber durch Spaltenumformungen kann man doch nun nie erreichen, dass die dritte Zeile leer wird. Also wäre zumindest dieser Teil deiner Vermutung

Zitat:

Nun ist die strikte Zeilenstufenform ... durch Zeilen- oder Spaltenumformungen zu erreichen.

nicht richtig.

07.08.2010, 12:13

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Stimmt - da ist der Haken, den ich gestern übersehen habe - war wohl doch zu spät.

Du kommst zwar auf eine ähnliche Form - allerdings nur mit der letzten Spalte, nicht mit der letzten Zeile ausgeräumt (sollte dann allerdings für reine Spaltenumformungen auch eindeutig sein).
Die einzige Chance das noch zu retten ist danach jeweils die anderen Umformungen zu machen. Das ist aber dann quasi dein ursprünglicher Ansatz, weil du damit beide Matrizen auf Diagonalform gebracht hast...

Sorry, dass es nicht funktioniert hat.

Gruß
MI

07.08.2010, 12:36

gonnabphd

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Ja, schade. Wär schön gewesen. smile

Gruss.

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