Unterschied Koordinatenvektor/Koeffizientenvektor

04.08.2010, 14:14	Lileteeps	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied Koordinatenvektor/Koeffizientenvektor Was ist der Unterschied zwischen "Koordinatenvektoren bzgl einer basis" und den "Koeffizientenvektoren" aus der darstellung $\begin{eqnarray} w=\sum\limits_{i=1}^m \alpha_{i} w^{j} \end{eqnarray}$ ? w soll hierbei ein basisvektor sein... ich meine da gibt es keinen.... aber ihr seid alle schlauer in mathe=)
06.08.2010, 10:32	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
In was für einem Vektorraum befinden wir uns denn hier? $\begin{eqnarray} w^j \end{eqnarray}$ ist für ein $\begin{eqnarray} w \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ doch gar nicht definiert? Ansonsten würd ich dir aber recht geben.
06.08.2010, 10:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll w oder w^j Basisvektor sein? Das einzige, was mir einfällt, dass man Koordinaten gerne (vergleiche Schule) als Zeilenvektoren schreibt. Die Elemente eines VR aber meist als Spaltenvektoren definiert sind. Wo tauchen die beiden Begriffe denn bei dir auf? Keine Definition im Skript?
06.08.2010, 11:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Begriff Koeffizient gibt es keine allgemeingültige präzise Beschreibung. Erst in gewissen Konstellationen bekommt er eine feste Bedeutung. So spricht man etwa von den Koeffizienten eines Polynoms, zum Beispiel sind in $\begin{eqnarray} 4x^3 - x + 1 \end{eqnarray}$ die Zahlen $\begin{eqnarray} 1,-1,0,4 \end{eqnarray}$ die Koeffizienten des konstanten, linearen, quadratischen und kubischen Gliedes. Entsprechend ist es bei Potenzreihen oder ähnlich aufgebauten Summendarstellungen: Koeffizienten sind da immer "Vor"faktoren. Läßt sich der Vektor $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray} u,v,w \end{eqnarray}$ schreiben, also $\begin{eqnarray} x = \alpha u + \beta v + \gamma w \end{eqnarray}$ so sind $\begin{eqnarray} \alpha, \beta, \gamma \end{eqnarray}$ die Koeffizienten der Linearkombination. Bilden $\begin{eqnarray} u,v,w \end{eqnarray}$ sogar eine Basis des Vektorraumes $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , so kann man die Koeffizienten $\begin{eqnarray} \alpha, \beta, \gamma \end{eqnarray}$ als Koordinaten von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} u,v,w \end{eqnarray}$ ansehen und zu einem Koordinaten"vektor" $\begin{eqnarray} \left( \alpha , \beta , \gamma \right) \end{eqnarray}$ zusammenfassen. Während $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ein Element von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist, ist der Koordinatenvektor ein Element des $\begin{eqnarray} K^3 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ der dem Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ zugrunde liegende Körper ist. Ob man den Koordinatenvektor als Zeile oder Spalte schreibt, ist unerheblich, solange man damit nicht im Matrizenkalkül Operationen ausführt. Und dann hängt es davon ab, was man tun will, ob die Zeilen- oder Spaltendarstellung angemessen ist. Koeffizient ist also allgemeiner als Koordinate. Um das letzte Beispiel zu verallgemeinern: Im Falle, daß $\begin{eqnarray} B = \left\{ w^1,w^2,\ldots,w^m \right\} \end{eqnarray}$ eine geordnete Basis eines Vektorraums ist und der Vektor $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ die Darstellung $\begin{eqnarray} w = \sum_{j=1}^m \alpha_j w^j \end{eqnarray}$ besitzt, sind die Koeffizienten $\begin{eqnarray} \alpha_j \end{eqnarray}$ der Linearkombination zugleich die Koordinaten von $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ bezüglich $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Die Koeffizienten bilden hier den Koordinatenvektor $\begin{eqnarray} \left( \alpha_1 , \alpha_2 \ldots , \alpha_m \right) \end{eqnarray}$ . (Bilden die Vektoren von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ keine Basis des Vektorraums, so kann man immer noch von den Koeffizienten der Linearkombination, aber nicht mehr von einem Koordinatenvektor sprechen.)
06.08.2010, 12:06	liliteeps	Auf diesen Beitrag antworten »
danke=)

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